HH神經(jīng)元模型的建立

1963年，Hodgkin和Huxley通過他們對神經(jīng)元動作電位的解釋與Eccles分享了諾貝爾獎，這類神經(jīng)元模型也被稱為HH模型。盡管HH模型年代久遠，而且仍然有許多不足，但是這一模型在現(xiàn)在仍然在使用，并且有望在計算神經(jīng)科學領(lǐng)域發(fā)揮作用

Hodgkin以及Huxley的工作

1.他們利用電壓鉗位放大器來研究電流與電壓的關(guān)系。通過改變細胞外離子 的濃度（主要是鈉離子和鉀離子），推斷離子所攜帶的電流。
2. 將實驗結(jié)果與數(shù)學模型相擬合
3. 求解數(shù)學模型。通過比較模型的動作電位與實驗記錄的動作電位驗證模型的正確性

基礎(chǔ)知識

在開始介紹具體內(nèi)容前，我們先簡單復(fù)習一下神經(jīng)元的基礎(chǔ)知識。神經(jīng)元產(chǎn)生動作電位主要有五個階段，分別是極化，去極化，反極化，復(fù)極化，超極化。
1.極化：神經(jīng)纖維膜外正電荷聚集，膜內(nèi)負電荷聚集（外正內(nèi)負）。即神經(jīng)元的靜息狀態(tài)。
2.去極化： 神經(jīng)受到刺激時，門控Na?通道打開，膜外的Na?短期內(nèi)大量涌入膜內(nèi)，造成了內(nèi)膜電位升高。
3.反極化：門控Na?通道關(guān)閉，門控K?通道打卡，K?大量外流，膜電位恢復(fù)靜息電位。
4.超極化：鉀離子通道完全打開后，這時鉀離子的大量外流使得質(zhì)膜再度極化，以至于超過原來的靜息電位，稱為超極化；超極化后膜電位會恢復(fù)至靜息電位。

模型構(gòu)建

在HH模型中主要研究三種離子電流，分別是上文提到的鈉離子電流 I_Na，鉀離子電流 I_K，以及他們稱之為leak current 的泄露電流 I_L。
神經(jīng)元的總體電流方程如下：
$$I=I_C+I_i=C_m\frac{dV}{dt}+I_i.\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中：
$$I_i=I_{N}a+I_K+I_L\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
且C_m為常數(shù)。
每種粒子的電流大小都是由對應(yīng)的電壓乘以該離子的膜電導所計算出來:
$$\begin{gathered} I_{N}a=g_{N}a(V?E_{N}a) \\ {I}_K=g_K(V?E_k) \\ {I}_L={\bar{g}}_L(V?E_L)\text{\hspace{1em}(1.3)} \end{gathered}$$
由于漏電流中的電導為常數(shù)，因此我們主要介紹如何計算鉀離子以及鈉離子電流。

鉀離子電流

Hodgkin和Huxley通過實驗發(fā)現(xiàn)，對細胞膜上的鉀離子通道進行了假設(shè)。他們假設(shè)細胞膜上含有多個離子通道，且每個離子通道都有多個獨立的門控粒子控制，假設(shè)n是單個門控粒子打開狀態(tài)的概率。在他們的實驗中發(fā)現(xiàn)，每個鉀離子通道都由四個獨立的門控離子所控制，因此鉀離子電導g_k和門控粒子打開狀態(tài)概率n的關(guān)系為：
$$g_k={\bar{g}}_k{n}^4\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
其中g(shù)_K bar 是一個常數(shù)，表示的是鉀離子的最大電導值。
另外，如果處于開放狀態(tài)的粒子占比為n，那么關(guān)閉狀態(tài)的粒子就是1-n，并且他們的狀態(tài)可以相互轉(zhuǎn)化。我們假設(shè)從關(guān)閉狀態(tài)變?yōu)殚_放狀態(tài)粒子的概率為α_n， 從開放狀態(tài)變?yōu)殛P(guān)閉狀態(tài)的粒子的概率為β_n, 那么我們可以得到n隨著時間變化的公式：
$$\frac{dn}{dt}={\alpha }_n(1?n)?{\beta }_{n}n\text{\hspace{1em}(1.5)}$$
通過實驗數(shù)據(jù)可以得到α_n以及β_n的公式：
$$\begin{gathered} {\alpha }_n=0.01\frac{V+55}{1?exp(?(V+55)/10)} \\ {\beta }_n=0.125exp(?(V+65/80))\text{\hspace{1em}(1.6)} \end{gathered}$$
另外，我們設(shè)時間為無窮大時的n為：
$$n_{\infty }=\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_n+{\beta }_n}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$
時間常數(shù)為：
$${\tau }_n=\frac{1}{{\alpha }_n+{\beta }_n}\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

鈉離子電流

我們可以使用推到鉀離子電流的類似方法推到鈉離子電流，但是鈉離子電流與鉀離子電流不同的是，在反極化的過程中鈉離子通道會關(guān)閉，也就是失活，而鉀離子通道會保持一直開放。因此Hodgking和Huxley認為不能想鉀離子一樣只包含一個門控變量n，為此他們引入了另一個門控變量h來表示失活水平，類似的，h隨著時間變化的公式為：
$$\frac{dh}{dt}={\alpha }_h(1?h)?{\beta }_{h}h\text{\hspace{1em}(1.9)}$$
并且鈉離子通道中的門控粒子打開的概率設(shè)為m，m與n和h一樣，與時間變化的公式為：
$$\frac{dm}{dt}={\alpha }_m(1?m)?{\beta }_{m}m\text{\hspace{1em}(1.10)}$$
最后，通過實驗驗證我們可以得到鈉離子電導的公式：
$$gNa={\bar{g}}_{N}a{m}^{3}h\text{\hspace{1em}(1.11)}$$
m和h在時間無窮大的計算方式與n相同，只需將式子中的α和β?lián)Q成對應(yīng)下標的參數(shù)即可，在這里就不一一贅述。
α_m和β_m , α_h和β_h的計算公式：
$$\begin{gathered} {\alpha }_m=0.1\frac{V+40}{1?exp(?(V+40)/10)} \\ {\beta }_m=4exp(?(V+65)/18)\text{\hspace{1em}(1.12)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} {\alpha }_h=0.07exp(?(V+65)/20) \\ {\beta }_h=\frac{1}{exp(?(V+35)/10)+1}\text{\hspace{1em}(1.13)} \end{gathered}$$

模型計算

簡要介紹一下如何計算并實現(xiàn)HH神經(jīng)元模型，具體參數(shù)可參考實現(xiàn)代碼
1.通過初始膜電壓（靜息電位）帶入α和β的相關(guān)公式將α和β的初始值計算出來。
2.將計算出來的α和β值代入1.7式計算出初始的n，m，h的值。這一步可以理解為n，m，h的初值就是靜息態(tài)時間無窮大的時候的值
3. 將計算出來的m， n， h待會電流表達式，計算出神經(jīng)元的總電流
4. 將總電流帶入1.1式計算神經(jīng)元膜電壓

實現(xiàn)代碼 -python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltnum_spike = 0
I_p = 10.0
dt = 0.01
T = 100
t = np.arange(0, T, dt)m = np.zeros(len(t))
n = np.zeros(len(t))
h = np.zeros(len(t))alpha_m = np.zeros(len(t))
beta_m = np.zeros(len(t))
alpha_n = np.zeros(len(t))
beta_n = np.zeros(len(t))
alpha_h = np.zeros(len(t))
beta_h = np.zeros(len(t))V_m = np.zeros(len(t))
g_K = np.zeros(len(t))
g_Na = np.zeros(len(t))g_K_max = 36
g_Na_max = 120
g_L = 0.3
E_K = -12
E_Na = 115
E_L = 10.6
V_rest = -70
C_m = 1.0for i in range(1, len(t) - 1):# V_m[1] = -65alpha_m[i] = 0.1 * ((25 - V_m[i]) / (np.exp((25 - V_m[i]) / 10) - 1))beta_m[i] = 4 * np.exp(-1 * V_m[i] / 18)alpha_n[i] = 0.01 * ((10 - V_m[i]) / (np.exp((10 - V_m[i]) / 10) - 1))beta_n[i] = 0.125 * np.exp(-1 * V_m[i] / 80)alpha_h[i] = 0.07 * np.exp(-1 * V_m[i] / 20)beta_h[i] = 1 / (np.exp((30 - V_m[i]) / 10) + 1)if i == 1:m[i] = alpha_m[i] / (alpha_m[i] + beta_m[i])n[i] = alpha_n[i] / (alpha_n[i] + beta_n[i])h[i] = alpha_h[i] / (alpha_h[i] + beta_h[i])g_Na[i] = m[i] ** 3 * g_Na_max * h[i]g_K[i] = n[i] ** 4 * g_K_maxI_Na = g_Na[i] * (V_m[i] - E_Na)I_K = g_K[i] * (V_m[i] - E_K)I_L = g_L * (V_m[i] - E_L)I_ion = I_p - I_K - I_Na - I_LV_m[i + 1] = V_m[i] + I_ion / C_m * dtm[i + 1] = m[i] + (alpha_m[i] * (1 - m[i]) - beta_m[i] * m[i]) * dtn[i + 1] = n[i] + (alpha_n[i] * (1 - n[i]) - beta_n[i] * n[i]) * dth[i + 1] = h[i] + (alpha_h[i] * (1 - h[i]) - beta_h[i] * h[i]) * dtif V_m[i] > 0 - V_rest:if (V_m[i] > V_m[i - 1]) and (V_m[i] > V_m[i + 1]):num_spike = num_spike + 1V_m = V_m + V_restplt.plot(t, V_m)
plt.show()

在這里使用的是歐拉法求解上文中的微分方程。

仿真結(jié)果

參考文獻

[1]: Principles of computational modelling in neuroscience-Cambridge University Press