目錄

浮點數(shù)的編碼表示

浮點數(shù)類型

?編輯

浮點數(shù)的表示

（1）浮點數(shù)（Float Point）的表示范圍

（2）規(guī)格化數(shù)形式

（3）IEEE 754標準

其他形式的機器數(shù)表示

?個人總結(jié)

---

浮點數(shù)的編碼表示

浮點數(shù)類型

C語言聲明	操作數(shù)類型	存儲長度（位）
float	單精度浮點數(shù)	32
double	雙精度浮點數(shù)	64
long double	擴展精度浮點數(shù)	80 / 96

實數(shù)類型分為：單精度浮點，浮點雙精度和擴展精度浮點

科學(xué)計數(shù)法（Scientific Notation） 與浮點數(shù)

從上面可以看出，對于一個實數(shù)都可以用一個定點整數(shù)和定點小數(shù)來表示，其中規(guī)格化的形式，小數(shù)點前面只有一個非0的數(shù)，對于二進制表示時，必定是1?

浮點數(shù)的表示

（1）浮點數(shù)（Float Point）的表示范圍

• 以下面的32位浮點數(shù)格式的規(guī)格化數(shù)為例，計算表示范圍

1、第0位數(shù)代表符號位

2、第1~8位為8位移碼表示階碼E（偏置常數(shù)為128）

3、第9~31位為24位二進制原碼小數(shù)表示的尾數(shù)M（tips：注意這里定點小數(shù)表示尾數(shù)是采用的原碼表示）

規(guī)格化尾數(shù)的小數(shù)點后第一位總是1，故規(guī)定第一位默認的1不明顯的表示出來，這樣可以用23位表示24位的尾數(shù)

?因為原碼對稱，故其表示范圍關(guān)于原點對稱?？杀硎痉秶▓D中的陰影部分和0

機器0：即尾數(shù)為0或落在下溢區(qū)中的數(shù)

浮點數(shù)范圍比定點數(shù)大，但數(shù)的個數(shù)沒變多，故數(shù)之間更稀疏，且不均勻

（2）規(guī)格化數(shù)形式

為了能表示更多有效數(shù)字，通常規(guī)定規(guī)格化數(shù)的小數(shù)點前為1

?

32bit規(guī)格化數(shù)

其中：

1）S是符號位（Sign）?

2) Exponent用移碼表示（移碼其實就是原碼加上一個偏置常數(shù)）來表示

3）Significand表示xxxxxxxxxx（部分尾數(shù)）基可以是2/4/8/16，約定信息，無需顯示表示

早期的計算機各自用自己的浮點數(shù)，這樣會帶來的結(jié)果是在不同的計算機中采用不同的格式解析數(shù)據(jù)，其實是不通用的，所以出現(xiàn)了IEEE754標準

（3）IEEE 754標準

?這里插入一個鏈接，講解IEEE 754非常詳細的一個博客

IEEE754標準: 一 , 浮點數(shù)在內(nèi)存中的存儲方式 - 知乎 (zhihu.com)

?其中，需要注意的是上面的博客中沒有指出階碼全0和全1是用來表示特殊情況的。

Q：為什么移碼的偏置常數(shù)采用127而不是像之前的128

A:? ?IEEE 754標準中，單精度浮點數(shù)可表示的范圍是0000 0001（-126）~1111 1110（127）；如果偏置常數(shù)采用的是128，則32位浮點數(shù)可表示的范圍是0000 0001（-127）~1111 1110（126），2^-126~2^127比2^-127~2^126可表示的范圍大

Q:已知float型變量x的機器數(shù)為BEE0 0000H，求x的值是多少？

A:轉(zhuǎn)換為2進制，1? 0111 1101 110 0000 0000 0000 0000 0000

符號位：1（負數(shù)）?

階碼（指數(shù)）：為避免混淆，用階碼表示階的編碼，用階或者指數(shù)表示階碼的值

階碼：0111 1101B = 125

階碼的值：125-127 = -2（指數(shù)為-2）

尾數(shù)數(shù)值部分：?1 +1x2-1+ 1x2-2+ 0x2-3+ 0x2-4+ 0x2-5+… =1+2-1+2-2= 1+0.5 +0.25 = 1.75

所以真值是：-1.75x2^-2 = -0.4375

Q: 已知float型變量x的值為-12.75，求x的機器數(shù)是多少？
A: -12.75=-1100.11B =-1.10011B x 2^3

符號S=1
階碼E=127+3=128+2=1000 0010
顯式表示的部分尾數(shù)Significant = 100 1100 0000 0000 0000 0000(第一個1可以不用顯示表示出來，因為規(guī)格化規(guī)定小數(shù)點前面一個數(shù)是非0的而且只有一位，必定是一個1)

所以： x 的機器數(shù)表示為： 1 ，1000 0010， 100 1100 0000 0000 0000 0000
轉(zhuǎn)換為十六進制表示為：C14C0000H

其他形式的機器數(shù)表示

前面定義的是針對規(guī)格化形式（normalized form）的數(shù)，那么，其他形式的機器數(shù)表示什么樣的信息呢？

（1）0的機器數(shù)表示

0其實就是尾數(shù)部分和階碼部分都是為0的，不同的符號位表示+0和-0，二者都是有效的

How to represent 0?
exponent: all zeros
significand: all zeros
What about sign?Both cases valid.
+0: 0 00000000 00000000000000000000000
-0: 1 00000000 00000000000000000000000
（2）+∞/-∞的機器數(shù)表示

無窮其實就是階碼全為1，其中尾數(shù)部分全為0，不同的符號位表示正無窮和負無窮
浮點數(shù)除0的結(jié)果是+/-∞, 而不是溢出異常.（整數(shù)除0為異常）
為什么要這樣處理? 可以利用+∞/-∞作比較。例如：X/0>Y可作為有效比較
How to represent +∞/-∞?
Exponent: all ones (11111111B = 255)
Significand: all zeros
+∞: 0 11111111 00000000000000000000000
-∞:? 1 11111111 00000000000000000000000
（3）“非數(shù)”的表示（NaN)

非數(shù)，這個錯誤其實在編寫程序的時候也是經(jīng)常遇到的一種情況，其中非數(shù)就是階碼全為1，尾數(shù)部分不為0的情況
例如“Sqrt (-4.0) ”，“0/0”等的結(jié)果稱為Not a Number (NaN) ，即“非數(shù)”
NaNs 可以幫助調(diào)試程序
How to represent NaN ？
Exponent： 255
Significand: nonzero
4. 非規(guī)格化數(shù)(Denorms)的表示

除了上面的三種情況，其實只剩下一種，就是階碼全為0，尾數(shù)部分不為0，這表示的就是非規(guī)格化數(shù)
How to represent Denorms?
Exponent： 0
Significand: nonzero

這張圖，其實包含了很多信息，其中用規(guī)格化數(shù)表示浮點數(shù)其實不能表示完全，比如最小的整數(shù)用規(guī)格化數(shù)表示其實就是上面圖中的1.0000....x2^-126，對于比如說2^-125~2^-124和2^-124~2^-123，其中后者長度是前者的兩倍，但是由于尾數(shù)部分的位數(shù)是固定的，其實二者之間可以表示的數(shù)據(jù)的個數(shù)是一樣的，都是2^23個，所以對于浮點數(shù)來說，數(shù)據(jù)越大，可以表示的最近的兩個浮點數(shù)的距離是越來越大的，數(shù)據(jù)越小其實可以表示的數(shù)據(jù)精度越高，越有可能可以精確表示，但是數(shù)字越大，由于可以表示的數(shù)字間距越來越大，所以表示的就可能更不精確，這也是為什么我之前一直不知道為什么計算機不能表示任意的浮點數(shù)，比如0.1+0.2不是0.3會有偏差的原因，就是不能表示0.3只能取離它最近的一個浮點數(shù)來表示。

?個人總結(jié)

1、任何一個實數(shù)都可以用一個定點整數(shù)和一個定點小數(shù)來表示，其中定點整數(shù)其實就是指的整數(shù)（來表示科學(xué)計數(shù)法中的指數(shù)部分），定點小數(shù)一般表示科學(xué)計數(shù)法中的小數(shù)部分（尾數(shù)）。

2、浮點數(shù)是有精度的，之前是不知道為什么有的浮點數(shù)在計算機中是沒有辦法存儲和表示的，只能根據(jù)某個特定的規(guī)則進行舍入和表示，而且浮點數(shù)數(shù)字越小越有可能精確表示，對于浮點數(shù)越大，精確表示的可能就越小，因為數(shù)越大，可表示的兩個浮點數(shù)之間的距離越來越大。

3、浮點數(shù)采用科學(xué)計數(shù)法，只需要定點小數(shù)表示尾數(shù)（采用原碼）和定點整數(shù)表示指數(shù)部分就可以表示任意一個浮點數(shù)

4、IEEE 754標準的一個好的博客

IEEE754標準: 一 , 浮點數(shù)在內(nèi)存中的存儲方式 - 知乎 (zhihu.com)