賽題描述

油田采油用的油井都是先用鉆機(jī)鉆幾千米深的孔后，再利用固井機(jī)向四周的孔壁噴射水泥砂漿得到水泥井管后形成的。固井機(jī)上用來(lái)控制砂漿流量的閥是影響水泥井管質(zhì)量的關(guān)鍵部件，但也會(huì)因磨損而損壞。目前我國(guó)還不能生產(chǎn)完整的閥體，固井機(jī)仍依賴進(jìn)口。由于損壞的內(nèi)筒已經(jīng)被磨損得面目全非，根本無(wú)法測(cè)繪出原來(lái)的形狀，因此維修時(shí)只能根據(jù)工作原理并結(jié)合閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

根據(jù)儀表刻度可知控制流量的閥是一個(gè)線性閥，即閥體的旋轉(zhuǎn)角度與砂漿流量成正比。在設(shè)計(jì)分析中假設(shè)砂漿的壓力恒定，進(jìn)而流量與“過流面積“（嚴(yán)格定義見下文）成正比，因此閥體的旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)該與“過流面積“成正比。一般來(lái)講，控制流量的閥體為兩個(gè)同心圓柱筒（兩筒直徑大致相等）。外筒固定，它的側(cè)面上有一個(gè)孔，形狀為兩個(gè)直徑不等（相差至少3、4倍以上）的圓柱體的交線（見示意圖，孔的形狀可能由于輸出水泥砂漿的管道是圓柱形的和磨損方面的考慮而取上述形狀）。內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個(gè)孔，它原來(lái)的形狀未知（維修的任務(wù)就是設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀），砂漿可以從兩個(gè)孔的相交部分即“過流面積”流過。顯然“過流面積”不能超過外筒孔的面積。現(xiàn)在數(shù)控機(jī)床比較普及，只要知道曲線的形狀就可以在維修所需要的內(nèi)筒上加工出合適的孔。當(dāng)然從實(shí)際加工角度考慮，內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。

可以把兩個(gè)圓柱筒展開成平面，即為兩個(gè)長(zhǎng)方形，筒的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)方形的平動(dòng)來(lái)思考，此時(shí)可將外筒孔近似看作圓孔。

1. 討論在上述閥體結(jié)構(gòu)下，在“過流面積”從為零直到外筒孔面積的范圍（簡(jiǎn)稱“最大范圍”）內(nèi)，能否通過選擇內(nèi)筒孔形狀實(shí)現(xiàn)“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系。如果不能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的