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一、AVL樹(shù)的概念

二叉搜索樹(shù)雖可以縮短查找的效率，但如果數(shù)據(jù)有序或接近有序二叉搜索樹(shù)將退化為單支樹(shù)，查找元素相當(dāng)于在順序表中搜索元素，效率低下。

因此，兩位俄羅斯的數(shù)學(xué)家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年發(fā)明了一種解決上述問(wèn)題的方法：當(dāng)向二叉搜索樹(shù)中插入新結(jié)點(diǎn)后，如果能保證每個(gè)結(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)高度之差的絕對(duì)值不超過(guò)1(需要對(duì)樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整)，即可降低樹(shù)的高度，從而減少平均搜索長(zhǎng)度。
一棵AVL樹(shù)或者是空樹(shù)，或者是具有以下性質(zhì)的二叉搜索樹(shù)：

它的左右子樹(shù)都是AVL樹(shù)
左右子樹(shù)高度之差(簡(jiǎn)稱(chēng)平衡因子)的絕對(duì)值不超過(guò)1(-1/0/1)

平衡因子= 右子樹(shù)高度-左子樹(shù)高度

如果一棵二叉搜索樹(shù)是高度平衡的，它就是AVL樹(shù)。如果它有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，其高度可保持在O(log2N) ，搜索時(shí)間復(fù)雜度O(log2N)

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二、AVL樹(shù)節(jié)點(diǎn)的定義

節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)：三叉鏈結(jié)構(gòu)（左、右、父），以及平衡因子bf+構(gòu)造函數(shù)（左右為空，平衡因子初始化為0）

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;//balance factorAVLTreeNode(const pair<K,V>&kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};

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三、AVL樹(shù)的插入

AVL樹(shù)在二叉搜索樹(shù)的基礎(chǔ)上引入了平衡因子，因此AVL樹(shù)也可以看成是二叉搜索樹(shù)。步驟過(guò)程：

找到插入的位置：根據(jù)二叉搜索樹(shù)的做法

進(jìn)行插入：判斷插入的位置是parent的左還是右

更新平衡因子：如果不平衡的話，就要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

找到插入位置（比較節(jié)點(diǎn)大小即可）：

• 插入的節(jié)點(diǎn)key值 > 當(dāng)前位置的key值，往右子樹(shù)走
• 插入的節(jié)點(diǎn)key值 < 當(dāng)前位置的key值，往左子樹(shù)走
• 插入的節(jié)點(diǎn)key值等于當(dāng)前位置的key值，不能插入，返回false

插入之后，與二叉搜索樹(shù)不同的是：我們還需要去進(jìn)行平衡因子的更新，調(diào)平衡：

如果新增加的在右，平衡因子加加

如果新增加的在左，平衡因子減減

更新一個(gè)結(jié)點(diǎn)之后我們需要去進(jìn)行判斷，子樹(shù)的高度是否發(fā)生了變化：

1.如果parent的平衡因子是0：說(shuō)明之前parent的平衡因子是1或-1，說(shuō)明之前parent一邊高、一邊低；這次插入之后填入矮的那邊，parent所在的子樹(shù)高度不變，不需要繼續(xù)往上更新

2.如果parent的平衡因子是1或者-1：說(shuō)明之前parent的平衡因子是0，兩邊一樣高，插入之后一邊更高，parent所在的子樹(shù)高度發(fā)生變化，繼續(xù)往上更新

3.平衡因子是2或-2，說(shuō)明之前parent的平衡因子是1或-1，現(xiàn)在插入嚴(yán)重不平衡，違反規(guī)則，需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)處理

最壞的情況下：需要一直更新到根root：

我們更新平衡因子時(shí)第一個(gè)更新的就是parent,如果parent->_bf1或parent->_bf-1需要繼續(xù)往上進(jìn)行平衡因子的更新，向上迭代，直到parent為空的情況：

else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{cur = parent;parent = parent->_parent;
}

當(dāng)parent->_bf = 2或parent->_bf==-2時(shí)，我們就需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)了：

🔴如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是1時(shí)，說(shuō)明右邊的右邊比較高，我們需要進(jìn)行左單旋

🔴如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是-1時(shí)，說(shuō)明左邊的左邊比較高，我們需要進(jìn)行右單旋

🔴如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是1時(shí)，我們需要進(jìn)行左右雙旋

🔴如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是-1時(shí)，我們需要進(jìn)行右左雙旋

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2){//左旋轉(zhuǎn)if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}//右旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//左右雙旋else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1){RotateLR(parent);}//右左雙旋else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}

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四、AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)

在一棵原本是平衡的AVL樹(shù)中插入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，可能造成不平衡，此時(shí)必須調(diào)整樹(shù)的結(jié)構(gòu)，使之平衡化。根據(jù)節(jié)點(diǎn)插入位置的不同，AVL樹(shù)的旋轉(zhuǎn)分為四種。

旋轉(zhuǎn)規(guī)則：

1.讓這顆子樹(shù)左右高度差不超過(guò)1

2.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中繼續(xù)保持它是搜索樹(shù)

3.更新調(diào)整孩子節(jié)點(diǎn)的平衡因子

4.讓這顆子樹(shù)的高度根插入前保持一致

1.左單旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高右子樹(shù)的右側(cè)—右右：左單旋

抽象圖：

a/b/c是高度為h的AVL子樹(shù)，代表多數(shù)情況：h>=0,其中h可以等于0、1、2…，不過(guò)都可以抽象成h，處理情況都一樣：此時(shí)parent等于2，subR等于1。

具體左旋的步驟：

subRL成為parent的右子樹(shù)：注意subL和parent的關(guān)系，調(diào)整parent的右以及subRL的父（subRL可能為空）

parent成為subR的左子樹(shù)：調(diào)整parent的父與subR的左

subR成為相對(duì)的根節(jié)點(diǎn)：調(diào)整subR與ppNode：注意parent是不是整棵樹(shù)的root，如果是，則讓subR為_(kāi)root,同時(shí)讓_root->_parent置為空

更新平衡因子

左旋調(diào)整：subR的左子樹(shù)值（subRL）本身就比parent的值要大，所以可以作為parent的右子樹(shù);而parent及其左子樹(shù)當(dāng)中結(jié)點(diǎn)的值本身就比subR的值小，所以可以作為subR的左子樹(shù)。

**更新平衡因子bf:**subR與parent的bf都更新為0

代碼實(shí)現(xiàn)左旋轉(zhuǎn)：

//左單旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppNode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

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2.右單旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高左子樹(shù)的左側(cè)—左左：右單旋

有了前面左旋的基礎(chǔ)，我們?cè)趤?lái)看右旋就沒(méi)有那么費(fèi)勁了：

a/b/c是高度為h的AVL樹(shù)，右旋旋轉(zhuǎn)動(dòng)作：b變成60的左邊，60變成30的右邊，30變成子樹(shù)的根。
30比60小，b值是處于30和60之間，此時(shí)作為60的左邊是沒(méi)有問(wèn)題的。

有了這個(gè)圖，在結(jié)合前面左單旋的基礎(chǔ)，我們就能很快實(shí)現(xiàn)我們的右單旋代碼：

//右單旋
void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;subL->_right = parent;//if(_root==parent)if (ppNode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}

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3.左右雙旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高左子樹(shù)的右側(cè)—左右：先左單旋再右單旋

a/d是高度為h的AVL樹(shù)，b/c是高度為h-1的AVL樹(shù)。

以30為軸點(diǎn)進(jìn)行左單旋：b變成30的右邊，30變成60的左邊，60變成子樹(shù)根

以90為軸點(diǎn)進(jìn)行右單旋：c變成90的左邊，90變成60的右邊，60變成子樹(shù)的根

左右雙旋：以subL為軸點(diǎn)左旋，以parent為軸點(diǎn)進(jìn)行右旋，在進(jìn)行平衡因子的更新(最大的問(wèn)題)

我們從總體的角度來(lái)看，左右雙旋的結(jié)果就是：就是把subLR的左子樹(shù)和右子樹(shù)，分別作為subL和parent的右子樹(shù)和左子樹(shù)，同時(shí)subL和parent分別作為subLR的左右子樹(shù)，最后讓subLR作為整個(gè)子樹(shù)的根

subLR的左子樹(shù)作為subL的右子樹(shù)：因?yàn)閟ubLR的左子樹(shù)結(jié)點(diǎn)比subL的大

subLR的右子樹(shù)作為parent的左子樹(shù)：因?yàn)閟ubLR的右子樹(shù)結(jié)點(diǎn)比parent的小

平衡因子的更新：重新判斷（識(shí)別插入節(jié)點(diǎn)是在b還是在c）根據(jù)subLR平衡因子的初始情況進(jìn)行分類(lèi)：

• 如果subLR初始平衡因子是-1時(shí)，左右雙旋后parent、subL、subLR的平衡因子分別更新為1、0、0（插入在b）

• 如果subLR的初始平衡因子是1時(shí)，左右雙旋后parent、subL、subLR的平衡因子分別更新為0、-1、0（插入在c）

• 如果subLR初始平衡因子是0時(shí)，左右雙旋后parent、subL、subLR的平衡因子分別更新為0、0、0（subLR自己新增）

代碼實(shí)現(xiàn)：

//左右雙旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR ->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//更新平衡因子if (bf == -1)//b插入,subLR左子樹(shù)新增{subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)//c插入，subLR右子樹(shù)新增{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0)//subLR自己新增加{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

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4.右左雙旋

新節(jié)點(diǎn)插入較高右子樹(shù)的左側(cè)—右左：先右單旋再左單旋

插入

subR為軸點(diǎn)進(jìn)行右單旋：

parent為軸進(jìn)行左單旋：

既右左雙旋：

右左雙旋后，根據(jù)subRL 初始平衡因子的不同分為三種情況分別對(duì)應(yīng)subRL = 0、1、-1情況，與左右雙旋情況類(lèi)似。

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

五、進(jìn)行驗(yàn)證

AVL樹(shù)是在二叉搜索樹(shù)的基礎(chǔ)上加入了平衡性的限制，因此要驗(yàn)證AVL樹(shù)，可以分兩步：

• 驗(yàn)證其為二叉搜索樹(shù)
  如果中序遍歷可得到一個(gè)有序的序列，就說(shuō)明為二叉搜索樹(shù)

	void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}

• 驗(yàn)證其為平衡樹(shù)
  每個(gè)節(jié)點(diǎn)子樹(shù)高度差的絕對(duì)值不超過(guò)1(注意節(jié)點(diǎn)中如果沒(méi)有平衡因子)節(jié)點(diǎn)的平衡因子是否計(jì)算正確

  如果是空樹(shù)，是AVL樹(shù)；高度差不大于2，并且遞歸左右子樹(shù)的高度差都不大于2，也是AVL樹(shù)；判斷平衡因子和該點(diǎn)的高度差是否相等

//求高度
int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int lh = Height(root->_left);int rh = Height(root->_right);return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;}
//判斷平衡
bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子異常" << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}

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六、AVLTree的性能

AVL樹(shù)是一棵絕對(duì)平衡的二叉搜索樹(shù)，其要求每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)高度差的絕對(duì)值都不超過(guò)1，這樣可以保證查詢(xún)時(shí)高效的時(shí)間復(fù)雜度即log2( N) 。但是如果要對(duì)AVL樹(shù)做一些結(jié)構(gòu)修改的操作，性能非常低下，比如：插入時(shí)要維護(hù)其絕對(duì)平衡，旋轉(zhuǎn)的次數(shù)比較多，更差的是在刪除時(shí)，有可能一直要讓旋轉(zhuǎn)持續(xù)到根的位置。
因此：如果需要一種查詢(xún)高效且有序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而且數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為靜態(tài)的(即不會(huì)改變)，可以考慮AVL樹(shù)，但一個(gè)結(jié)構(gòu)經(jīng)常修改，就不太適合.

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送上源碼：

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <time.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;//balance factorAVLTreeNode(const pair<K,V>&kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template <class K,class V>
struct AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2){//左旋轉(zhuǎn)if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}//右旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//左右雙旋else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1){RotateLR(parent);}//右左雙旋else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}//左單旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppNode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;subL->_right = parent;//if(_root==parent)if (ppNode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}//左右雙旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR ->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//更新平衡因子if (bf == -1)//b插入,subLR左子樹(shù)新增{subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)//c插入，subLR右子樹(shù)新增{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0)//subLR自己新增加{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}//右左雙旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void InOrder(){_InOrder(_root);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int lh = Height(root->_left);int rh = Height(root->_right);return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子異常" << endl;return false;}return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};//測(cè)試
void TestAVLTree()
{//int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e,e));}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}void TestAVLTree2()
{srand(time(0));const size_t N = 100000;AVLTree<int, int> t;for (size_t i = 0; i < N; i++){size_t x = rand();t.Insert(make_pair(x, x));}//t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}

本篇結(jié)束…