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1、漢明碼
(1)常見(jiàn)概念
代數(shù)碼，是指建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼，常用的是線性碼。
線性碼，是指按照一組線性方程構(gòu)成的編碼，線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著。
漢明碼是一種能夠糾正1位錯(cuò)碼且編碼效率較高的線性分組碼。
(2)漢明碼的構(gòu)造原理
若碼長(zhǎng)為n,信息位數(shù)為k,則監(jiān)督位數(shù)為n-k;如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示一位錯(cuò)碼的n種可能位，則要求：
2^ r-1≥n或2^ r≥k+r+1
一位監(jiān)督碼a0和信息位an-1……a1一起構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督碼的代數(shù)式
an-1⊕an-2⊕……⊕a0=0
在接收端解碼時(shí)，需要根據(jù)監(jiān)督關(guān)系式，計(jì)算校正子S
監(jiān)督關(guān)系式：S=an-1⊕an-2⊕……⊕a0
因?yàn)樾Ｕ覵只有一位，只能代表有錯(cuò)和無(wú)措兩種信息
若S=0，則無(wú)錯(cuò)碼；若S=1，則有錯(cuò)碼
兩位校正子即2個(gè)監(jiān)督關(guān)系式，共四種組合00,01,10,11，可以表示四種不同的信息，可以指示一個(gè)錯(cuò)碼的3種不同位置
故若r個(gè)校正子，即r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式，能指示一個(gè)錯(cuò)碼的(2^r-1)個(gè)位置。
(3)構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式和漢明碼
設(shè)分組碼(n,k)中k=4，為了糾正一位錯(cuò)碼，要求監(jiān)督位數(shù)r≥3。
令r=3,則n=k+r=7，用a6,a5,a4,a3,a2,a1,a0表示這7個(gè)碼元，用S1,S2,S3表示3個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，規(guī)定S1，S2，S3的值與錯(cuò)碼位置的關(guān)系如下表，

僅當(dāng)錯(cuò)碼位置在a6,a5,a4或a2時(shí)，S1=1，由此構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：
S1=a6⊕a5⊕a4⊕a2
僅當(dāng)錯(cuò)碼位置在a6,a5,a3或a1時(shí)，S2=1，由此構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：
S2=a6⊕a5⊕a3⊕a1
僅當(dāng)錯(cuò)碼位置在a6,a4,a3或a0時(shí)，S3=1，由此構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：
S3=a6⊕a4⊕a3⊕a0
當(dāng)發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a6,a5,a4,a3是隨機(jī)輸入的，而監(jiān)督位a2,a1,a0根據(jù)信息位的取值，按照監(jiān)督關(guān)系式來(lái)確定，要求編碼中無(wú)錯(cuò)碼則需要保持S1,S2,S3的值均為0，故：
a6⊕a5⊕a4⊕a2=0
a6⊕a5⊕a3⊕a1=0
a6⊕a4⊕a3⊕a0=0
由此可得出：
a2=a6⊕a5⊕a4
a1=a6⊕a5⊕a3
a0=a6⊕a4⊕a3
由此可構(gòu)造出漢明碼

2、線性分組碼的原理證明
線性碼時(shí)信息位和監(jiān)督位滿足一組線性代數(shù)方程式的碼
取一組線性方程式
(1×a6)⊕(1×a5)⊕(1×a4)⊕(0×a3)⊕(1×a2)⊕(0×a1)⊕(0×a0)=0
(1×a6)⊕(1×a5)⊕(0×a4)⊕(1×a3)⊕(0×a2)⊕(1×a1)⊕(0×a0)=0
(1×a6)⊕(0×a5)⊕(1×a4)⊕(1×a3)⊕(0×a2)⊕(0×a1)⊕(1×a0)=0

H—監(jiān)督矩陣(parity-check matrix)
若監(jiān)督矩陣H確定，則編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定。

具有[PIr]形式的H矩陣稱(chēng)為典型陣。

在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q產(chǎn)生監(jiān)督位。
在Q的左邊加上k×k階單位矩陣，構(gòu)成矩陣G

具有[IkQ]形式的生成矩陣稱(chēng)為典型生成矩陣G
由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后，這種形式的碼稱(chēng)為系統(tǒng)碼