說在前面

我將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f明矩陣求導(dǎo)的本質(zhì)與分子布局、分母布局的本質(zhì)。希望對初學(xué)的同學(xué)、想理解本質(zhì)的同學(xué)提供一些幫助。
注1:看懂本文只需了解本科階段高等數(shù)學(xué)的偏導(dǎo)如何求、本科階段線性代數(shù)的矩陣的定義，無需任何其他知識。
注2：本文若無特殊說明，則約定向量均為列向量，如

注3：本文僅考慮實(shí)數(shù)，不考慮復(fù)數(shù)。

一. 函數(shù)與標(biāo)量、向量、矩陣

考慮一個函數(shù)

針對 function 的類型、input 的類型，我們可以將這個函數(shù)funcion分為不同的種類。
1、function是一個標(biāo)量
我們稱function是一個實(shí)值標(biāo)量函數(shù)。用細(xì)體小寫字母f表示。
1.1 input是一個標(biāo)量
我們稱function的變元是標(biāo)量。用細(xì)體小寫字母x表示。
例1：

1.2 input是一個向量
我們稱function的變元是向量。用粗體小寫字母x表示。
1.3 input是一個矩陣
我們稱function的變元是矩陣。用粗體大寫字母X表示。

2、function是一個向量
我們稱function是一個實(shí)向量函數(shù)。用粗體小寫字母f表示。
含義:f是由若干個f組成的一個向量。
同樣地，變元分三種:標(biāo)量、向量、矩陣。這里的符號仍與上面相同。
2.1 標(biāo)量變元

2.2 向量變元

2.3 矩陣變元

3、function是一個矩陣
我們稱function是一個實(shí)矩陣函數(shù)。用粗體大寫字母F表示。
含義:F是由若干個f 組成的一個矩陣。
同樣地，變元分三種:標(biāo)量、向量、矩陣。這里的符號仍與上面相同。
3.1 標(biāo)量變元

3.2 向量變元

3.3 矩陣變元

4、總結(jié)
函數(shù)與標(biāo)量、向量、矩陣

function\input	標(biāo)量變元	向量變元	矩陣變元
實(shí)值標(biāo)量函數(shù)	f(x)	f(x)	f(X)
實(shí)向量函數(shù)	f(x)	f(x)	f(X)
實(shí)矩陣函數(shù)	F(x)	F(x)	F(X)

二. 矩陣求導(dǎo)的本質(zhì)

我們在高等數(shù)學(xué)中學(xué)過，對于—個多元函數(shù)：


至于這m × n個結(jié)果的布局，是寫成行向量，還是寫成列向量，還是寫成矩陣，就是我們接下來要討論的事情。

三. 矩陣求導(dǎo)結(jié)果的布局

四. 分子布局、分母布局的本質(zhì)

五. 向量變元的實(shí)值標(biāo)量函數(shù)

證畢。




證畢。


證畢。


證畢。