目錄

1 正態(tài)分布相關(guān)的2個相關(guān)定理

1.1 大數(shù)定律：(證明了)分布的穩(wěn)定性

1.2 中心極限定理：(證明了)分布的收斂性

2 使用標(biāo)準(zhǔn)差和概率的2種思路

2.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的曲線

2.2 兩種使用方式

2.3 第1種：按整數(shù)倍標(biāo)準(zhǔn)差δ 作為標(biāo)準(zhǔn)使用

2.3.1? ?比如3δ原則 /6西格瑪管理

2.3.2 還有LCL, UCL管理

2.2 第2種：按比較整的概率如95%對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差使用

3 應(yīng)用舉例1

4 應(yīng)用舉例2：造成誤差的原因不是樣本數(shù)占總體的比例，而是樣本的絕對數(shù)量！

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關(guān)于正態(tài)分布，具體應(yīng)用

1 正態(tài)分布相關(guān)的2個相關(guān)定理

1.1 大數(shù)定律：(證明了)分布的穩(wěn)定性

• 大量試驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)定性
• 頻率的穩(wěn)定性，
• 伯努利大數(shù)定律：樣本數(shù)多n變大，某個事件發(fā)生的頻度 =單次試驗(yàn)內(nèi)發(fā)生的概率
• 泊松大數(shù)定律：? ?樣本數(shù)多n變大，樣本平均值估計 =總體平均值

1.2 中心極限定理：(證明了)分布的收斂性

• 分布的收斂性
• 隨機(jī)變量（如多次取樣的均值）會逐漸符合某一分布：正態(tài)分布
• 二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布
• 無論一組變量獨(dú)立同分布，不管本身符合什么分布，但是有u和 δ^2。這組變量的樣本平均數(shù)(多次抽樣的平均數(shù)分分布)就服從 u和 δ^2/N的正態(tài)分布

2 使用標(biāo)準(zhǔn)差和概率的2種思路

2.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的曲線

• 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線，曲線下的面積可以表示概率
• 曲線上的每個點(diǎn)，都是Xi值的標(biāo)準(zhǔn)值
• 標(biāo)準(zhǔn)值=xi-u/sd

2.2 兩種使用方式

• 我們根據(jù)不同的需要，確定了我們使用?2δ 還是2.58δ
• 如果有可能，我們使用其他標(biāo)準(zhǔn)的δ 都有可能，關(guān)鍵是根據(jù)需求來

1. 當(dāng)我們需要以整數(shù)δ為標(biāo)準(zhǔn)來看概率時，選擇 δ，2δ，3δ等
2. 當(dāng)我們需要以比較整的概率時比如95%，99%時，比如做假設(shè)檢驗(yàn)的適合，選擇 1.96δ，2.58δ等

2.3 第1種：按整數(shù)倍標(biāo)準(zhǔn)差δ 作為標(biāo)準(zhǔn)使用

按照 -3δ，-2δ，-1δ，1δ，2δ，3δ 這樣的整數(shù)倍δ來劃分區(qū)間

• 3δ，49.8%，99.99%
• 2.58δ，49.5%，99%
• 2δ，47.7%，95.45%
• 1.96δ，47.5%，95%
• δ，34.1%，68.5%
• -δ，34.1%，68.5%
• -1.96δ，47.5%，95%
• -2δ，47.7%，95.45%
• -2.58δ，49.5%，99%
• -3δ，49.8%，99.99%

2.3.1? ?比如3δ原則 /6西格瑪管理

• 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與概率，3δ原則
• 不同的標(biāo)準(zhǔn)差δ對應(yīng)不同的概率
• 按照幾倍δ，去找對應(yīng)的概率，68.5%，95.45%，99.99%等

2.3.2 還有LCL, UCL管理

• LCL“Low control limit ?一般對應(yīng)-3δ
• UCL：UP control limit ? ?一般對應(yīng)+3δ

2.2 第2種：按比較整的概率如95%對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差使用

按概率 90% 95% 99%等比較整的概率去劃分標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)間

• 3δ，49.8%，99.99%
• 2.58δ，49.5%，99%
• 2δ，47.7%，95.45%
• 1.96δ，47.5%，95%
• δ，34.1%，68.5%
• -δ，34.1%，68.5%
• -1.96δ，47.5%，95%
• -2δ，47.7%，95.45%
• -2.58δ，49.5%，99%
• -3δ，49.8%，99.99%

?

3 應(yīng)用舉例1

• 使用樣本均值 + 總體的標(biāo)準(zhǔn)差，去估計 總體均值的范圍
• 使用樣本均值 + 總體的標(biāo)準(zhǔn)差（樣本標(biāo)準(zhǔn)差），去估計 總體均值的范圍

我們?nèi)绻挥?個樣本，少數(shù)樣本，雖然不能直接推算總體樣本，但是可以這么估計范圍。
比如在95%區(qū)間內(nèi)
總體均值-1.96*標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n) <= 樣本平均值<=總體均值-1.96*標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n)
因此
總體平均值<=樣本平均值+1.96*標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n)
總體平均值>=樣本平均值-1.96*標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n)

當(dāng)樣本數(shù)量n一直增大后
總體平均值<=樣本平均值+1.96*標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n)=樣本平均值+0
總體平均值>=樣本平均值-1.96*標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n) =樣本平均值-0
總體平均值=樣本平均值

如果范圍從95%→99%后，形象的看為什么置信區(qū)間變大了
總體平均值<=樣本平均值+2.58 *標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n)
總體平均值>=樣本平均值-2.58 *標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n)
范圍變大，95%-99%，也就是置信區(qū)間變大了。而拒絕的空間α就很小了。

這個計算實(shí)際存在理論上的問題。但是實(shí)際上我們?nèi)菀椎玫綐颖揪?#xff0c;但很難得到總體標(biāo)準(zhǔn)差，而如果用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去替代總體的，也是個辦法，因?yàn)闃颖痉讲畹姆帜笍腘改為(N-1)=總體方差，所以還是可以行得通的，但是肯定是有誤差的。

4 應(yīng)用舉例2：造成誤差的原因???????不是樣本數(shù)占總體的比例，而是樣本的絕對數(shù)量！

• 一個更奇怪的公式
• 95%時
• 樣本p-1.96*sqrt((N-n)/(N-1)*p*(1-p)/n) <總體P< 樣本p+1.96*sqrt((N-n)/(N-1)*p*(1-p)/n)
• 而(N-n)/(N-1) 樣本數(shù)量n比較小時，趨近于1，故意忽略
• 樣本p-1.96*sqrt(p*(1-p)/n) <總體P< 樣本p+1.96*sqrt(p*(1-p)/n)

• 造成誤差的原因
• 不是樣本數(shù)占總體的比例，而是樣本的絕對數(shù)量！
• 反常識！