---

是什么的問題

1. 回歸分析（Regression Analysis） 是研究自變量與因變量之間數(shù)量變化關(guān)系的一種分析方法，它主要是通過因變量Y與影響它的自變量$X_i（i1,2,3\dots ）$之間的回歸模型，衡量自變量$X_i$對因變量Y的影響能力的，進而可以用來預(yù)測因變量Y的發(fā)展趨勢。

2. 損失函數(shù)（Cost Function/Lost Function） 用于估計模型的預(yù)測值和真實值之間的不一致程度，損失函數(shù)越小代表模型預(yù)測結(jié)果與真實值越相近。

定義線性回歸的損失函數(shù)，可采用最小二乘法，通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。
單個樣本（example）的誤差函數(shù)：

總體n的誤差函數(shù)：
線性回歸模型的函數(shù)：$$\hat{y}=w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_d{x}_d+b=W^{T}X+b$$

在訓(xùn)練模型時，我們希望尋找?組參數(shù)（w?, b?），這組參數(shù)能最?化在所有訓(xùn)練樣本上的總損失。

3. 如何找到最優(yōu)的w，b來優(yōu)化我們的模型？

用數(shù)學(xué)的方法就是把w，b看成未知變量，分別對其求偏導(dǎo)。

$$L(w,b)=\sum _{i=1}^n(W^{T}X+bi?y_i{)}^2$$
因為我們求L最小時，w和b的值，去掉前面的非0正系數(shù)不影響。
求參數(shù)w：
求參數(shù)b：同上

---

案例說明

問題：預(yù)測寶可夢升級后的cp值
Step1： model （設(shè)計網(wǎng)絡(luò)模型）define a set of function

b是bias(偏置)，$w_i$是weight(權(quán)重)，$X_{cp}$是我們輸入的cp值
線性模型: $y=b+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_i{x}_i$
b和w的值是有很多個的，所以有a set of function，需要通過這個train data去找到這個最合適的function。

step 2: Goodness of function（函數(shù)的好壞）
通過第一另外一個function：Loss來判斷上面的function的好壞

Loss function 是去衡量y的好壞，去判斷我們找到的w，b的好壞

step 3: Best Funciton(Gradient Descent)
很顯然，就是求L分別對w，b的偏導(dǎo)，通過梯度下降的方式來找到最小的L。
單個參數(shù)的考慮：
通過不斷更新，使得L最小，會到達一個局部最優(yōu)（local optimal），斜率為0或接近于0，這個時候就無法再更新w了，所以是不能找到全局最優(yōu)（global optimal）。

倆個參數(shù)的考慮：

最后，通過上面的10個寶可夢的數(shù)據(jù)，得到參數(shù)b，w，然后進行測試：

怎樣獲得更好的結(jié)果呢？怎樣讓預(yù)測更加準確呢?
其實就是需要改變模型：（這里改成二次式）

多項式回歸(Polynomial Regression), 多項式回歸與線性回歸的概念相同，只是它使用的是曲線而不是直線(線性回歸使用的是直線)。多項式回歸學(xué)習(xí)更多的參數(shù)來繪制非線性回歸曲線。對于不能用直線概括的數(shù)據(jù)，它是有益的。多項式回歸是將自變量x與因變量y之間的關(guān)系建模為n次多項式的一種線性回歸形式。多項式回歸擬合了x值與y相應(yīng)條件均值之間的非線性關(guān)系，記為E(y |x)。

或者說還想更好，那么可以嘗試從二次轉(zhuǎn)化為三次

四次：
從這里開始，雖然換成了更復(fù)雜的Mode。但是測試的結(jié)果，average error變大了，results become worse…

五次：
綜上：
模型model越復(fù)雜，包含的train data越多，在訓(xùn)練集上的誤差越小。

但是更加復(fù)雜的模型不一定能在測試數(shù)據(jù)中帶來更好的表現(xiàn)。會出現(xiàn)【過擬合】，所以，我們要選擇一個最適合我們的model而不是最復(fù)雜的model。因為，可能會導(dǎo)致過擬合。上圖中最好的model是三次式的。

當增加更多的寶可夢數(shù)據(jù)時，會發(fā)現(xiàn)不僅僅只有一個cp值的影響，還有物種的影響，所以需要重新設(shè)計我們的model

重新設(shè)計的model，增加了物種因素：
結(jié)果：
上分類后得到的linear model，結(jié)果明顯比原來的沒有分類的好太多了。嘗試增加更多因素，修改model：（量，高度，HP值）
重新設(shè)計的model：
最終結(jié)果訓(xùn)練誤差小了很多，但是測試誤差太大了，過擬合了。遇到這個情況需要引出一個新的概念：正則化（Regularization）

Back to step 2: Regularization(正則化) 正則化就是說給需要訓(xùn)練的目標函數(shù)加上一些規(guī)則（限制），讓我們的函數(shù)盡量平緩，別過于膨脹，我們在梯度函數(shù)中加上$weigh{t}^2$這一項，這樣就可以很好控制weight的大小。

重新訓(xùn)練的結(jié)果：
當λ=100時，達到這個模型的最佳測試Loss

---