問題描述

有一對兔子，從出生后的第3個月起每個月都生一對兔子。小兔子長到第3個月后每個月又生一對兔子，假設(shè)所有的兔子都不死，問30個月內(nèi)每個月的兔子總對數(shù)為多少？

題目解析

兔子產(chǎn)子問題是一個有趣的古典數(shù)學(xué)問題，我們畫一張表來找一下兔子數(shù)的規(guī)律，如表1.1所示。

月數(shù)	小兔子對數(shù)	中兔子對數(shù)	老兔子對數(shù)	兔子總對數(shù)
1	1	0	0	1
2	0	1	0	1
3	1	0	1	2
4	1	1	1	3
5	2	1	2	5
6	3	2	3	8
7	5	3	5	13

我們可以發(fā)現(xiàn)，這個問題的繁殖模式符合斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律：

• 第1、2個月只有一對兔子。
• 從第3個月開始，每個月的兔子總數(shù)等于前兩個月兔子總數(shù)之和。因為新生的兔子對數(shù)等于兩個月前的兔子對數(shù)。

算法設(shè)計

本題目是典型的迭代循環(huán)，即是一個不斷用新值取代變量的舊值，然后由變量舊值遞推出變量新值的過程。這種迭代與這些因素有關(guān)：初值、迭代公式和迭代次數(shù)。經(jīng)過問題分析，算法可以描述為

用Python語言來描述迭代公式即為fib=fib1+fib2，其中fib為當(dāng)前新求出的兔子對數(shù)，fib1為前一個月的兔子對數(shù)，fib2為前兩個月的兔子對數(shù)，然后為下一次迭代做準(zhǔn)備，進(jìn)行如下的賦值fib2=fib1，fib1=fib，要注意賦值的次序；迭代次數(shù)由循環(huán)變量控制，為所求的月數(shù)。

解題思路

1. 定義斐波那契數(shù)列：兔子的數(shù)量符合斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系。即：
   • F(n) = F(n-1) +F(n-2) （從第3個月開始）
   • 第1個月：F(1)=1 對
   • 第2個月：F(2)=1 對
2. 遞推計算：從第3個月開始，每個月的兔子總數(shù)等于前兩個月兔子數(shù)之和。
3. 最終目標(biāo)：我們需要計算30個月內(nèi)每個月的兔子總對數(shù)。

代碼實現(xiàn)

def rabbit_pairs(months):if months <= 0:return 0elif months == 1 or months == 2:return 1# 初始化前兩個數(shù)值prev1, prev2 = 1, 1# 從第三個月開始計算for month in range(3, months + 1):current = prev1 + prev2prev1, prev2 = prev2, currentreturn current# 計算30個月的兔子總對數(shù)
months = 30
total_rabbits = rabbit_pairs(months)
print(f"在第 {months} 個月，兔子的總對數(shù)為: {total_rabbits}")

解釋：

1. 遞歸關(guān)系：我們使用變量 prev1 和 prev2 來存儲前兩個月份的兔子對數(shù)，然后通過遞推計算當(dāng)前月份的兔子總對數(shù)。
   • prev1 存儲的是前一個月的兔子對數(shù)。
   • prev2 存儲的是當(dāng)前月的兔子對數(shù)。
   • 每次更新這兩個變量，直到計算出第30個月的兔子總對數(shù)。
2. 遞推過程：
   • 初始時，第1、2個月的兔子總對數(shù)都為1對。
   • 從第3個月開始，當(dāng)前月的兔子總數(shù)等于前兩個月兔子對數(shù)之和。

驗證結(jié)果

運(yùn)行上述代碼后，得到30個月的兔子總對數(shù)為：

在第 30 個月，兔子的總對數(shù)為: 832040

總結(jié)：

這道題的繁殖模型符合斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系。通過遞推法，我們可以高效地計算每個月的兔子總對數(shù)，并快速得到30個月內(nèi)兔子的數(shù)量。