目錄

一.梯度概念

1.一元函數(shù)

2.二元函數(shù)

?3.幾何意義上的區(qū)別

二.梯度下降

?1.原理

?2.步驟

3.示例代碼（Python）

4.不同類型的梯度下降

?5.優(yōu)缺點(diǎn)

?三.動(dòng)量優(yōu)化器（Momentum）

適用場景

1.復(fù)雜地形的優(yōu)化問題

?2.數(shù)據(jù)具有噪聲的問題

3.目標(biāo)函數(shù)變化緩慢的問題

4.特征稀疏的問題

指定參數(shù)?

1.?params

3.?momentum（動(dòng)量系數(shù)）

4.?weight_decay（權(quán)重衰減）

5.?nesterov（是否使用 Nesterov 動(dòng)量）

?四.Adagrad（Adaptive Gradient Algorithm）

?五.Adadelta

?六.RMSProp（Root Mean Square Propagation）

?七.Adam（Adaptive Moment Estimation）

?八.Nesterov 加速梯度（Nesterov Accelerated Gradient，NAG）

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一.梯度概念

梯度和導(dǎo)數(shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別，下面從一元函數(shù)、多元函數(shù)以及幾何意義等方面為你詳細(xì)解釋：

1.一元函數(shù)

聯(lián)系：在一元函數(shù)??中，梯度和導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是相同的概念。導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率，它描述了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。其定義為函數(shù)在該點(diǎn)的極限：

?

?梯度在一元函數(shù)中也是指函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，所以此時(shí)梯度就是導(dǎo)數(shù)。例如，對于函數(shù)y=2x+1 ，其導(dǎo)數(shù)y`=2 ，這也是該函數(shù)在任意點(diǎn)的梯度。

• 表示形式：在一元函數(shù)里，導(dǎo)數(shù)和梯度都可以用一個(gè)標(biāo)量值來表示。

2.二元函數(shù)

• 作用：偏導(dǎo)數(shù)只能反映函數(shù)在某一個(gè)坐標(biāo)軸方向上的變化情況，而梯度則綜合了函數(shù)在各個(gè)自變量方向上的變化信息，它指向函數(shù)值增長最快的方向，梯度的模表示函數(shù)在該方向上的最大變化率。

?3.幾何意義上的區(qū)別

• 導(dǎo)數(shù)（一元函數(shù)）：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了曲線在該點(diǎn)的傾斜程度。
• 梯度（多元函數(shù)）：多元函數(shù)的梯度在幾何上表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的一個(gè)向量，該向量垂直于函數(shù)在該點(diǎn)的等值面（或等高線），并且指向函數(shù)值增加的方向。

綜上所述，在一元函數(shù)中梯度等同于導(dǎo)數(shù)，但在多元函數(shù)中，梯度是由多個(gè)偏導(dǎo)數(shù)組成的向量，與導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）的概念不同。

二.梯度下降

?梯度下降（Gradient Descent）是一種常用的優(yōu)化算法，主要用于尋找函數(shù)的最小值。在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，它被廣泛應(yīng)用于模型參數(shù)的優(yōu)化，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中權(quán)重和偏置的更新，以最小化損失函數(shù)。

?1.原理

梯度下降的核心思想基于函數(shù)的梯度特性。對于一個(gè)多元函數(shù)f=(x1,x2,x3.....) ，其梯度vf? 是一個(gè)向量，它指向函數(shù)值增長最快的方向。那么，負(fù)梯度方向就是函數(shù)值下降最快的方向。梯度下降算法通過不斷地沿著負(fù)梯度方向更新參數(shù)，逐步逼近函數(shù)的最小值

?2.步驟

1.初始化參數(shù)：隨機(jī)初始化待優(yōu)化的參數(shù)?θ = (θ1,θ2,θ3.....θn)

?2.計(jì)算梯度：計(jì)算損失函數(shù) J(θ) 關(guān)于參數(shù)?θ?的梯度▽θ?。

?3.更新參數(shù)：根據(jù)負(fù)梯度方向更新參數(shù)，更新公式為:

? ? ? ?θ:=θ -?α▽J(θ)

其中，?α是學(xué)習(xí)率（Learning Rate），它控制著每次參數(shù)更新的步長。

?4.重復(fù)步驟 2 和 3：不斷重復(fù)計(jì)算梯度和更新參數(shù)的過程，直到滿足停止條件，例如達(dá)到最大迭代次數(shù)、梯度的模小于某個(gè)閾值等。

3.示例代碼（Python）

以下是一個(gè)簡單的示例，使用梯度下降算法來最小化一個(gè)簡單的一元函數(shù)?：f(x) = x?

import numpy as np# 定義目標(biāo)函數(shù)
def f(x):return x**2# 定義目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
def df(x):return 2 * x# 初始化參數(shù)
x = 2.0
# 學(xué)習(xí)率
alpha = 0.1
# 最大迭代次數(shù)
max_iter = 100# 梯度下降過程
for i in range(max_iter):# 計(jì)算梯度gradient = df(x)# 更新參數(shù)x = x - alpha * gradient# 輸出當(dāng)前迭代的結(jié)果print(f'Iteration {i+1}: x = {x}, f(x) = {f(x)}')print(f'Optimal x: {x}, f(x) = {f(x)}')

4.不同類型的梯度下降

• 批量梯度下降（Batch Gradient Descent，BGD）：在每次迭代中，使用整個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集來計(jì)算梯度并更新參數(shù)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是收斂穩(wěn)定，能夠保證收斂到全局最優(yōu)解（對于凸函數(shù)），但計(jì)算開銷大，尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)集較大時(shí)。
• 隨機(jī)梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）：在每次迭代中，隨機(jī)選擇一個(gè)樣本進(jìn)行梯度計(jì)算和參數(shù)更新。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，能夠快速跳出局部最優(yōu)解，但收斂過程可能會比較震蕩，不穩(wěn)定。
• 小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent，MBGD）：結(jié)合了批量梯度下降和隨機(jī)梯度下降的優(yōu)點(diǎn)，在每次迭代中，隨機(jī)選擇一小部分樣本（一個(gè)小批量）來計(jì)算梯度并更新參數(shù)。這種方法在計(jì)算效率和收斂穩(wěn)定性之間取得了較好的平衡，是實(shí)際應(yīng)用中最常用的方法。

?5.優(yōu)缺點(diǎn)

• 優(yōu)點(diǎn)
  • 通用性強(qiáng)：適用于各種類型的損失函數(shù)和模型，只要損失函數(shù)可導(dǎo)，就可以使用梯度下降算法進(jìn)行優(yōu)化。
  • 易于實(shí)現(xiàn)：算法的原理和實(shí)現(xiàn)都比較簡單，容易理解和掌握。
• 缺點(diǎn)
  • 學(xué)習(xí)率選擇困難：學(xué)習(xí)率??α的選擇對算法的性能影響很大。如果學(xué)習(xí)率過大，算法可能會發(fā)散，無法收斂到最優(yōu)解；如果學(xué)習(xí)率過小，算法的收斂速度會非常慢。
  • 可能陷入局部最優(yōu)解：對于非凸函數(shù)，梯度下降算法可能會陷入局部最優(yōu)解，而無法找到全局最優(yōu)解。不過，在實(shí)際應(yīng)用中，通過一些技巧（如隨機(jī)初始化、動(dòng)量法等）可以在一定程度上緩解這個(gè)問題。

?三.動(dòng)量優(yōu)化器（Momentum）

• 原理：動(dòng)量優(yōu)化器借鑒了物理中動(dòng)量的概念，它在更新參數(shù)時(shí)不僅考慮當(dāng)前的梯度，還會結(jié)合之前的梯度信息。在梯度下降的基礎(chǔ)上，引入了一個(gè)動(dòng)量項(xiàng)?，用于累積之前的梯度。動(dòng)量項(xiàng)可以幫助參數(shù)更新在相同方向上加速，減少在局部最優(yōu)解附近的震蕩，更快地越過局部極小值。

?更新公式：

• 優(yōu)點(diǎn)：收斂速度通常比普通的梯度下降更快，能有效減少震蕩，更快地收斂到最優(yōu)解。
• 缺點(diǎn)：需要額外的超參數(shù)（動(dòng)量系數(shù)）進(jìn)行調(diào)整。

適用場景

1.復(fù)雜地形的優(yōu)化問題

具有高曲率或局部極小值的函數(shù)優(yōu)化

• 在目標(biāo)函數(shù)的曲面具有復(fù)雜的形狀，存在許多局部極小值和鞍點(diǎn)時(shí)，普通的梯度下降算法容易陷入局部最優(yōu)解，或者在鞍點(diǎn)附近停滯不前。而動(dòng)量優(yōu)化器憑借動(dòng)量項(xiàng)的累積效應(yīng)，能夠幫助算法更快地跳出局部極小值和鞍點(diǎn)區(qū)域。
• 例如，在訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，損失函數(shù)的地形通常非常復(fù)雜。以圖像識別任務(wù)中的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，其損失函數(shù)可能存在大量的局部極小值。動(dòng)量優(yōu)化器可以讓參數(shù)更新在遇到局部極小值時(shí)，利用之前累積的動(dòng)量繼續(xù)前進(jìn)，從而更有可能找到全局最優(yōu)解或更好的局部最優(yōu)解。

?2.數(shù)據(jù)具有噪聲的問題

隨機(jī)梯度下降中的噪聲影響緩解

• 在使用隨機(jī)梯度下降（SGD）處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時(shí)，每次迭代僅使用一個(gè)或一小部分樣本計(jì)算梯度，這會導(dǎo)致梯度估計(jì)存在噪聲，使得參數(shù)更新過程產(chǎn)生較大的震蕩。動(dòng)量優(yōu)化器可以通過動(dòng)量項(xiàng)平滑這些噪聲的影響。
• 例如，在推薦系統(tǒng)中，訓(xùn)練數(shù)據(jù)通常非常龐大且具有一定的噪聲。當(dāng)使用 SGD 進(jìn)行模型訓(xùn)練時(shí)，梯度的波動(dòng)會比較大。引入動(dòng)量優(yōu)化器后，動(dòng)量項(xiàng)可以對梯度的波動(dòng)進(jìn)行平均，使得參數(shù)更新更加穩(wěn)定，減少了噪聲對訓(xùn)練過程的干擾，從而加快收斂速度。

3.目標(biāo)函數(shù)變化緩慢的問題

加速收斂過程

• 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在某些方向上的變化非常緩慢時(shí)，普通的梯度下降算法收斂速度會變得很慢。動(dòng)量優(yōu)化器可以在這些方向上累積動(dòng)量，加快參數(shù)在這些方向上的更新速度。
• 比如，在訓(xùn)練循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）處理序列數(shù)據(jù)時(shí)，由于梯度消失或梯度爆炸問題，目標(biāo)函數(shù)在某些方向上的變化可能極其緩慢。動(dòng)量優(yōu)化器能夠在這些方向上積累動(dòng)量，使得參數(shù)更新更快地朝著最優(yōu)解的方向前進(jìn)，從而顯著提高訓(xùn)練效率。

4.特征稀疏的問題

更好地處理稀疏梯度

• 在處理稀疏數(shù)據(jù)時(shí)，某些特征的梯度可能很少被更新。動(dòng)量優(yōu)化器可以記住之前的梯度信息，即使某個(gè)特征的梯度在當(dāng)前迭代中為零，動(dòng)量項(xiàng)也能利用之前的梯度推動(dòng)參數(shù)更新。
• 例如，在自然語言處理中的文本分類任務(wù)中，使用詞袋模型表示文本時(shí)，特征向量通常是非常稀疏的。動(dòng)量優(yōu)化器可以有效地處理這種稀疏梯度，讓模型更好地學(xué)習(xí)到稀疏特征與目標(biāo)之間的關(guān)系，提高模型的性能。

指定參數(shù)?

1.?params

• 說明：這是必須指定的參數(shù)，它表示需要優(yōu)化的模型參數(shù)。在 PyTorch 里，通常通過?model.parameters()?來獲取模型中所有可訓(xùn)練的參數(shù)。

2.?lr（學(xué)習(xí)率）?

• 說明：學(xué)習(xí)率控制著每次參數(shù)更新的步長，是一個(gè)非常關(guān)鍵的參數(shù)。如果學(xué)習(xí)率設(shè)置過大，模型可能會在最優(yōu)解附近震蕩甚至發(fā)散；如果學(xué)習(xí)率設(shè)置過小，模型的收斂速度會變得非常緩慢。

3.?momentum（動(dòng)量系數(shù)）

• 說明：動(dòng)量系數(shù)決定了之前梯度信息在當(dāng)前參數(shù)更新中所占的比重。合適的動(dòng)量系數(shù)可以加速模型的收斂速度，減少震蕩。一般來說，常見的動(dòng)量系數(shù)取值在 0.9 左右。

4.?weight_decay（權(quán)重衰減）

• 說明：權(quán)重衰減是一種正則化方法，用于防止模型過擬合。它通過在損失函數(shù)中添加一個(gè)正則化項(xiàng)，使得模型的參數(shù)在更新過程中逐漸變小。權(quán)重衰減系數(shù)通常設(shè)置為一個(gè)較小的正數(shù)，如 0.0001。

5.?nesterov（是否使用 Nesterov 動(dòng)量）

• 說明：Nesterov 動(dòng)量是動(dòng)量優(yōu)化器的一種改進(jìn)版本，它在計(jì)算梯度時(shí)會考慮到下一個(gè)位置的參數(shù)值，具有更好的收斂性能。可以通過將?nesterov?參數(shù)設(shè)置為?True?來啟用 Nesterov 動(dòng)量。

?示例代碼

import torch
import torch.nn as nn# 定義一個(gè)簡單的線性模型
class SimpleModel(nn.Module):def __init__(self):super(SimpleModel, self).__init__()self.linear = nn.Linear(10, 1)def forward(self, x):return self.linear(x)model = SimpleModel()
# 學(xué)習(xí)效率
learning_rate = 0.01
# 動(dòng)量系數(shù)
momentum = 0.9
# 權(quán)重衰減
weight_decay = 0.0001
# 是否使用 Nesterov 動(dòng)量
nesterov = True# 創(chuàng)建優(yōu)化器
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=learning_rate, momentum=momentum,weight_decay=weight_decay, nesterov=nesterov)

?四.Adagrad（Adaptive Gradient Algorithm）

• 原理：Adagrad 是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的優(yōu)化器，它會根據(jù)每個(gè)參數(shù)的歷史梯度信息自動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)率。對于那些經(jīng)常更新的參數(shù)，學(xué)習(xí)率會逐漸減小；而對于不經(jīng)常更新的參數(shù)，學(xué)習(xí)率會相對較大。這樣可以讓每個(gè)參數(shù)根據(jù)自身的特性進(jìn)行更合理的更新。
• 更新公式

• 優(yōu)點(diǎn)：無需手動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)率，能夠自適應(yīng)地為不同參數(shù)分配合適的學(xué)習(xí)率，在稀疏數(shù)據(jù)場景下表現(xiàn)良好。
• 缺點(diǎn)：隨著迭代次數(shù)的增加，學(xué)習(xí)率會不斷減小，可能導(dǎo)致后期收斂速度過慢，甚至提前停止更新。

?五.Adadelta

• 原理：Adadelta 是對 Adagrad 的改進(jìn)，它解決了 Adagrad 學(xué)習(xí)率單調(diào)遞減的問題。Adadelta 不需要手動(dòng)設(shè)置全局學(xué)習(xí)率，而是通過計(jì)算梯度的指數(shù)移動(dòng)平均來動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)率，使得學(xué)習(xí)率在訓(xùn)練過程中不會一直減小。
• 優(yōu)點(diǎn)：無需設(shè)置全局學(xué)習(xí)率，避免了 Adagrad 學(xué)習(xí)率衰減過快的問題，在不同的數(shù)據(jù)集和模型上都有較好的表現(xiàn)。
• 缺點(diǎn)：需要調(diào)整的超參數(shù)相對較多，包括指數(shù)衰減率等。

?六.RMSProp（Root Mean Square Propagation）

• 原理：RMSProp 也是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的優(yōu)化器，它與 Adadelta 類似，通過計(jì)算梯度平方的指數(shù)移動(dòng)平均來調(diào)整學(xué)習(xí)率。RMSProp 能夠有效地緩解 Adagrad 學(xué)習(xí)率下降過快的問題，使得模型在訓(xùn)練過程中能夠持續(xù)學(xué)習(xí)。
• 更新公式：

• 優(yōu)點(diǎn)：自適應(yīng)調(diào)整學(xué)習(xí)率，在處理非凸優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)較好，收斂速度較快。
• 缺點(diǎn)：仍然需要手動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)率和衰減率等超參數(shù)。

?七.Adam（Adaptive Moment Estimation）

• 原理：Adam 結(jié)合了動(dòng)量優(yōu)化器和自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的思想，它同時(shí)計(jì)算梯度的一階矩估計(jì)（均值）和二階矩估計(jì)（方差），并利用這些估計(jì)值來動(dòng)態(tài)調(diào)整每個(gè)參數(shù)的學(xué)習(xí)率。Adam 具有較快的收斂速度和較好的穩(wěn)定性。
• 更新公式

• 優(yōu)點(diǎn)：收斂速度快，對不同類型的數(shù)據(jù)集和模型都有較好的適應(yīng)性，在深度學(xué)習(xí)中被廣泛使用。
• 缺點(diǎn)：可能會在某些情況下出現(xiàn)過擬合的問題，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)?strong>正則化處理。

?八.Nesterov 加速梯度（Nesterov Accelerated Gradient，NAG）

• 原理：NAG 是動(dòng)量優(yōu)化器的一種改進(jìn)版本。它在計(jì)算梯度時(shí)，先根據(jù)動(dòng)量項(xiàng)大致預(yù)估下一個(gè)位置的參數(shù)值，然后在這個(gè)預(yù)估位置計(jì)算梯度，這樣可以讓優(yōu)化器更有前瞻性，提前知道梯度的變化趨勢，從而更快地收斂。

?更新公式:

• 優(yōu)點(diǎn)：比傳統(tǒng)的動(dòng)量優(yōu)化器收斂速度更快，尤其在處理一些復(fù)雜的優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)更優(yōu)。
• 缺點(diǎn)：同樣需要調(diào)整動(dòng)量系數(shù)和學(xué)習(xí)率等超參數(shù)。