1 插值法概述

數(shù)模比賽中，常常需要根據(jù)已知的函數(shù)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)、模型的處理和分析，而有時(shí)候現(xiàn)有的數(shù)據(jù)是極少的，不足以支撐分析的進(jìn)行，這時(shí)就需要使用一些數(shù)學(xué)的方法，“模擬產(chǎn)生”一些新的但又比較靠譜的值來滿足需求，這就是插值的作用。

那什么是插值法？

插值法又可以分為以下三類：

?? 注意：

• 針對(duì)于建模比賽，我們一般只討論多項(xiàng)式插值和分段插值，三角插值一般要用到傅里葉變換等復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。

2 插值法原理

一維插值 問題：

?? 注意：

• 只要 n+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)互異，滿足上述插值條件的多項(xiàng)式是唯一的
• 如果不限制多項(xiàng)式的次數(shù)，插值多項(xiàng)式并不唯一

3 拉格朗日插值

在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫?路易斯?拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測的點(diǎn)取到觀測到的值。

😋 舉例：

由上述簡單的例子可得，拉格朗日插值多項(xiàng)式：

但是使用拉格朗日插值有個(gè)很大的缺點(diǎn)：龍格現(xiàn)象（Runge phenomenon）

• 高次插值會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，即在兩端處波動(dòng)極大，產(chǎn)生明顯的震蕩。在不熟悉曲線運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的前提下，不要輕易使用高次插值。

😋 舉例：

我們已經(jīng)知道了

• 插值多項(xiàng)式次數(shù)高精度未必顯著提高
• 插值多項(xiàng)式次數(shù)越高攝入的誤差可能顯著增大

那么如何提高插值精度？—— 采用 分段低次插值

4 牛頓插值

與拉格朗日插值的對(duì)比：

??注意：

• 所以我們幾乎不用拉格朗日插值和牛頓插值，更多的是用下面介紹的埃爾米特(Hermite)插值以及三次樣條插值

5 三次Hermite插值（重點(diǎn)）

不但要求在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值相等，而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是 Hermite 插值多項(xiàng)式。

直接使用 Hermite 插值得到的多項(xiàng)式次數(shù)較高，也存在著龍格現(xiàn)象，因此在實(shí)際應(yīng)用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多項(xiàng)式 (PCHIP)

6 三次樣條插值（重點(diǎn)）

7 各種插值法總結(jié)

由于拉格朗日插值和牛頓插值僅僅要求插值多項(xiàng)式在插值節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)有相等的函數(shù)值，而這種插值多項(xiàng)式卻不能全面反映被插值函數(shù)的性態(tài)，我們一般不用。

三次Hermite插值與樣條插值結(jié)果對(duì)比

可以看出，三次樣條生成的曲線更加光滑。在實(shí)際建模中，由于我們不知道數(shù)據(jù)的生成過程，因此這兩種插值都可以使用。

8 n 維數(shù)據(jù)的插值

9 插值法拓展

以上插值算法也可用于短期預(yù)測

??注意：

• 實(shí)際建模過程中，大家盡量不要用插值算法來預(yù)測，上面只是給大家舉的一個(gè)小例子；如果要預(yù)測，可以選擇擬合算法，也可以使用之后要學(xué)的專門用于預(yù)測的算法。

10 課后作業(yè)

建模實(shí)例：MathorCup 第六屆A題 淡水養(yǎng)殖池塘水華發(fā)生及池水凈化處理

華中農(nóng)業(yè)大學(xué)特等獎(jiǎng)文章

參考答案：