發(fā)展歷史和算法思想

模擬退火算法（Simulated Annealing, SA）是一種基于熱力學(xué)原理的隨機(jī)優(yōu)化算法，最早由 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 于 1983 年提出。算法的靈感來(lái)自于固體物理學(xué)中的退火過(guò)程：通過(guò)加熱和緩慢冷卻金屬，可以減少其結(jié)構(gòu)中的缺陷，使其達(dá)到低能量的穩(wěn)定狀態(tài)。

數(shù)學(xué)原理

模擬退火算法的核心思想是通過(guò)模擬退火過(guò)程來(lái)搜索最優(yōu)解。在優(yōu)化過(guò)程中，算法允許在一定概率下接受較差的解，以避免陷入局部最優(yōu)解。該概率由以下公式給出：

其中：

• 是當(dāng)前解的能量（目標(biāo)函數(shù)值）。

• 是新解的能量。

• 是當(dāng)前溫度。

• 是指數(shù)函數(shù)。

當(dāng)溫度逐漸降低時(shí)，算法更傾向于接受更優(yōu)的解。通過(guò)適當(dāng)?shù)慕禍夭呗?#xff0c;算法可以逐步逼近全局最優(yōu)解。

主要步驟：

1. 初始化：設(shè)定初始溫度 和初始解 。

2. 鄰域搜索：從當(dāng)前解 的鄰域中隨機(jī)選擇一個(gè)新解 。

3. 能量差計(jì)算：計(jì)算當(dāng)前解和新解的能量差 。

4. 接受準(zhǔn)則：如果 ，則接受新解；否則，以概率 接受新解。

5. 降溫：逐漸降低溫度 。

6. 重復(fù)步驟 2-5，直到達(dá)到停止條件（如溫度過(guò)低或迭代次數(shù)達(dá)到上限）。

應(yīng)用場(chǎng)景

模擬退火算法適用于求解各種組合優(yōu)化問(wèn)題和連續(xù)優(yōu)化問(wèn)題，主要包括但不限于：

• 旅行商問(wèn)題（TSP）

• 背包問(wèn)題

• 車輛路徑問(wèn)題

• 圖著色問(wèn)題

• 生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題

• 函數(shù)優(yōu)化

可視化Python示例

以下是一個(gè)使用模擬退火算法解決旅行商問(wèn)題（TSP）的Python可視化示例：

import?numpy?as?np
import?matplotlib.pyplot?as?plt#?計(jì)算路徑長(zhǎng)度
def?path_length(path,?distance_matrix):return?sum(distance_matrix[path[i],?path[i+1]]?for?i?in?range(len(path)-1))?+?distance_matrix[path[-1],?path[0]]#?模擬退火算法
def?simulated_annealing_tsp(distance_matrix,?n_iterations,?temp,?cooling_rate):num_cities?=?len(distance_matrix)best_path?=?np.arange(num_cities)np.random.shuffle(best_path)best_eval?=?path_length(best_path,?distance_matrix)curr_path,?curr_eval?=?best_path.copy(),?best_evalscores?=?[best_eval]for?i?in?range(n_iterations):candidate_path?=?curr_path.copy()l,?r?=?np.random.randint(0,?num_cities,?size=2)if?l?>?r:l,?r?=?r,?lcandidate_path[l:r+1]?=?np.flip(candidate_path[l:r+1])candidate_eval?=?path_length(candidate_path,?distance_matrix)if?candidate_eval?<?best_eval:best_path,?best_eval?=?candidate_path.copy(),?candidate_evalscores.append(best_eval)print(f"Iteration?{i},?Best?Score:?{best_eval}")diff?=?candidate_eval?-?curr_evalt?=?temp?/?float(i?+?1)metropolis?=?np.exp(-diff?/?t)if?diff?<?0?or?np.random.rand()?<?metropolis:curr_path,?curr_eval?=?candidate_path.copy(),?candidate_evaltemp?*=?cooling_ratereturn?best_path,?best_eval,?scores#?參數(shù)設(shè)置
num_cities?=?20
n_iterations?=?1000
temp?=?100
cooling_rate?=?0.995#?生成隨機(jī)城市坐標(biāo)
coords?=?np.random.rand(num_cities,?2)
distance_matrix?=?np.linalg.norm(coords[:,?np.newaxis]?-?coords[np.newaxis,?:],?axis=2)#?運(yùn)行模擬退火算法
best_path,?best_eval,?scores?=?simulated_annealing_tsp(distance_matrix,?n_iterations,?temp,?cooling_rate)
print(f"Best?Path:?{best_path},?Best?Path?Length:?{best_eval}")#?可視化
plt.figure()
plt.subplot(2,?1,?1)
plt.scatter(coords[:,?0],?coords[:,?1],?c='red')
for?i?in?range(num_cities):plt.annotate(str(i),?(coords[i,?0],?coords[i,?1]))
for?i?in?range(num_cities):plt.plot([coords[best_path[i],?0],?coords[best_path[(i?+?1)?%?num_cities],?0]],[coords[best_path[i],?1],?coords[best_path[(i?+?1)?%?num_cities],?1]],?'b-')
plt.title('Best?Path')plt.subplot(2,?1,?2)
plt.plot(scores,?label='Best?Path?Length')
plt.xlabel('Iteration')
plt.ylabel('Path?Length')
plt.legend()plt.tight_layout()
plt.show()'''
輸出:
...
Iteration?896,?Best?Score:?4.171655916012842
Iteration?993,?Best?Score:?4.137952785183053
Best?Path:?[?0?13?12?18??8?14??5?11?16??7?10??2??3?15?19??4??6??9?17??1],?Best?Path?Length:?4.137952785183053
'''

可視化結(jié)果：

代碼說(shuō)明

1. 計(jì)算路徑長(zhǎng)度函數(shù)：計(jì)算給定路徑的總長(zhǎng)度。

2. 模擬退火算法：

   • 初始化當(dāng)前路徑、最佳路徑及其評(píng)價(jià)值。

   • 在每次迭代中，從當(dāng)前路徑的鄰域中隨機(jī)選擇一個(gè)新路徑。

   • 通過(guò)反轉(zhuǎn)路徑段來(lái)生成鄰域解。

   • 計(jì)算新路徑的長(zhǎng)度，并根據(jù)接受準(zhǔn)則決定是否接受新路徑。

   • 逐步降低溫度，并記錄最佳路徑的長(zhǎng)度。

3. 參數(shù)設(shè)置：設(shè)置城市數(shù)量、迭代次數(shù)、初始溫度和降溫率。

4. 生成隨機(jī)城市坐標(biāo)：生成隨機(jī)城市坐標(biāo)并計(jì)算距離矩陣。

5. 運(yùn)行算法：調(diào)用模擬退火算法，并輸出最佳路徑和最佳路徑長(zhǎng)度。

6. 可視化：繪制城市坐標(biāo)圖和優(yōu)化過(guò)程中最佳路徑長(zhǎng)度的變化曲線。

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