方差分析的基本前提假設(shè)與t檢驗(yàn)的前提假設(shè)類似，包括正態(tài)分布假設(shè)、觀察獨(dú)立性假設(shè)和方差齊性假設(shè)。

一、基本術(shù)語

在R語言以及更廣泛的統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域中，方差分析（ANOVA，即Analysis of Variance）是一種用于比較兩個(gè)或更多組數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法。可以使用aov()函數(shù)或其他相關(guān)函數(shù)（如anova()）來執(zhí)行方差分析.下面是方差分析中的一些基本術(shù)語定義：

1、因素（Factor）

在方差分析中，因素是指影響響應(yīng)變量（因變量）的一個(gè)或多個(gè)分類變量。例如，在比較不同教學(xué)方法對學(xué)生成績的影響時(shí)，教學(xué)方法就是一個(gè)因素。

2、水平（Level）

因素的每個(gè)不同取值稱為一個(gè)水平。例如，如果教學(xué)方法因素有三個(gè)取值：傳統(tǒng)教學(xué)法、互動(dòng)教學(xué)法和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)法，那么這三個(gè)取值就是該因素的三個(gè)水平。

3、響應(yīng)變量（Response Variable）

?又叫因變量。響應(yīng)變量是方差分析中我們想要研究的變量，其值受到因素水平的影響。在上面的例子中，學(xué)生成績就是響應(yīng)變量。

4、組間變異（Between-Groups Variation）

組間變異是指由不同因素水平引起的響應(yīng)變量值之間的差異。在方差分析中，組間變異用于評估因素對響應(yīng)變量的影響是否顯著。

5、?組內(nèi)變異（Within-Groups Variation）

組內(nèi)變異是指在同一因素水平內(nèi)，響應(yīng)變量值之間的差異。它反映了在每個(gè)組內(nèi)數(shù)據(jù)的自然波動(dòng)。

6、總變異（Total Variation）

總變異是組間變異和組內(nèi)變異的總和，代表了響應(yīng)變量值的整體波動(dòng)。

7、均方（Mean Square）

均方是變異量（如組間變異或組內(nèi)變異）除以相應(yīng)的自由度得到的值。均方用于計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量，以評估組間變異是否相對于組內(nèi)變異顯著。

8、F統(tǒng)計(jì)量（F-Statistic）

F統(tǒng)計(jì)量是組間均方與組內(nèi)均方的比值。它用于檢驗(yàn)零假設(shè)（即所有組的均值相等）是否成立。如果F值足夠大，則拒絕零假設(shè)，認(rèn)為至少有兩個(gè)組的均值存在顯著差異。

9、P值（P-Value）

P值是與F統(tǒng)計(jì)量相關(guān)聯(lián)的概率值，表示在零假設(shè)為真的情況下，觀察到當(dāng)前或更極端結(jié)果的可能性。通常，如果P值小于某個(gè)顯著性水平（如0.05），則拒絕零假設(shè)。

10、顯著性水平（Significance Level）

顯著性水平是用于判斷統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果是否顯著的一個(gè)預(yù)設(shè)概率值。在方差分析中，常見的顯著性水平包括0.05、0.01和0.001。如果P值小于顯著性水平，則認(rèn)為結(jié)果是顯著的。

二、aov()函數(shù)

基本格式：

aov(formula, data)

• formula：以公式的形式指定方差分析的類型，如y~A表示單因素組間設(shè)計(jì)方差分析或單因素非重復(fù)測量方差分析。y為因變量，A為自變量。
• data：指定用于方差分析的數(shù)據(jù)，y和A必須被包含在data中。?

formula公式中的常見符號

符號	含義
~	分隔符號，左邊為響應(yīng)變量（因變量），右邊為自變量。如A預(yù)測y，代碼為y~A
+	分隔自變量，表示變量之間的線性關(guān)系。例如A和B預(yù)測y，代碼為y~A+B
:	自變量之間的交互作用。例如A和B間交互作用為A:B
*	變量間所有可能的效應(yīng)。例如y~A*B*C，可展開為y~A+B+C+A:B+A:C+B:C+A:B:C
^	表示交互項(xiàng)達(dá)到某個(gè)次數(shù)。例如y~(A+B+C)^2，可展開為y~A+B+C+A:B+A:C+B:C
.	表示除了因變量的所有變量。例如一個(gè)數(shù)據(jù)框包含了A、B、C和y四個(gè)變量，代碼為y~A+B+C
-	表示從公式中除去某個(gè)變量。例如y~A*B-A:B可擴(kuò)展為y~A+B
-l	刪除截距項(xiàng)。例如y~A+B-l
0	刪除截距項(xiàng)。例如y~A+B+0
I()	放在I()中的表達(dá)式按照算數(shù)意義進(jìn)行解釋。例如y~A+I(B+C)，表示A作為一個(gè)自變量，B和C的和作為另一個(gè)自變量，y是因變量。

常見方差分析類型公式

公式	類型
y~A	單因素非重復(fù)測量方差分析
y~x+A	含有一個(gè)協(xié)變量的單因素方差分析
y~A+B	兩因素非重復(fù)測量方差分析
y~x1+x2+A*B	含兩個(gè)協(xié)變量的兩因素非重復(fù)測量方差分析
y~A+Error(Subject/A)	單因素重復(fù)測量方差分析
y~A+B+Error(Subject/A)	兩因素混合設(shè)計(jì)的方差分析

?1、單因素非重復(fù)測量方差分析

在R語言中，單因素非重復(fù)測試方差分析（One-Way ANOVA）用于比較三個(gè)或更多獨(dú)立組的均值，以確定這些組之間是否存在顯著差異。非重復(fù)測試意味著每個(gè)觀察值只測量一次，而不是重復(fù)測量。

下面用car包中的Prestige數(shù)據(jù)集來演示：我們只關(guān)注聲望指數(shù)（prestige）和職業(yè)（type）這兩個(gè)變量。其中type中的bc代表藍(lán)領(lǐng)，prof代表從事管理或技術(shù)方面工作，wc表示白領(lǐng)。

library(car)
head(Prestige)
# 各組樣本大小
table(Prestige$type)
# 求各組的均值
aggregate(prestige ~ type, data = Prestige, FUN=mean)
# 求各組的標(biāo)準(zhǔn)差
aggregate(prestige ~ type, data = Prestige, FUN=sd)

# 非重復(fù)測量方差分析
result <- aov((prestige ~ type, data = Prestige)
summary(result)

從下面結(jié)果可知：p值<2e-16表明在0.05的顯著性水平下，type因子對因變量（prestige）的影響是高度顯著的。這意味著至少有兩個(gè)type水平之間的均值存在顯著差異。

2、單因素協(xié)方差分析

在R語言中，單因素協(xié)方差分析（ANCOVA）用于研究一個(gè)分類自變量（因子）對一個(gè)連續(xù)因變量的影響，同時(shí)考慮一個(gè)或多個(gè)連續(xù)協(xié)變量的影響。協(xié)變量是那些您認(rèn)為可能會(huì)影響因變量，但不在主要考慮范圍內(nèi)的變量。通過包括協(xié)變量，ANCOVA可以幫助減少誤差變異，從而提高統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的效力。

下面用nlme包中的bdf數(shù)據(jù)集做演示：

library(nlme)
# 選擇數(shù)據(jù)：IQ.vern表示學(xué)生的語言智商分?jǐn)?shù)；
# denomina表示學(xué)校的類別，其中1為公立學(xué)校，2為新教私立學(xué)校，3為天主教私立學(xué)校，4為非教派私立學(xué)校；
# schoolSES表示學(xué)校的社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位指數(shù)。
bdf.sub <- bdf [, c("IQ.verb", "denomina", "schoolSES")]
head(bdf.sub)
# 查看各組的樣本量
table(bdf.sub$denomina)

以下結(jié)果可知：學(xué)校的社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位指數(shù)對學(xué)生的語言智商分?jǐn)?shù)的影響顯著。?

# 計(jì)算各組的均值
tapply(bdf.sub$IQ.verb, bdf.sub$denomina, mean)
# 計(jì)算各組標(biāo)準(zhǔn)差
tapply(bdf.sub$IQ.verb, bdf.sub$denomina, sd)
# 單因素協(xié)差分析
result <- aov(IQ.verb ~ schoolSES + denomina, data=bdf.sub)
summary(result)

?3、單因素重復(fù)測量方差分析

在R語言中，單因素重復(fù)測量方差分析（Repeated Measures ANOVA）可以使用aov()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。單因素重復(fù)測量方差分析用于分析一個(gè)因素在不同時(shí)間點(diǎn)或不同條件下對同一組被試的影響。

4、兩因素方差分析

在R語言中，兩因素方差分析（Two-Way ANOVA）通常用于分析兩個(gè)分類自變量對一個(gè)連續(xù)因變量的影響。

下面用R語言內(nèi)置的warpbreaks做演示：研究該數(shù)據(jù)集中羊毛的類型（A和B），以及張力水平（L、M和H）對紗線斷裂次數(shù)的影響。

head(warpbreaks)
# 計(jì)算各處理組合的次數(shù)
table(warpbreaks$wool, warpbreaks$tension)

# 計(jì)算各處理組合的均值和標(biāo)準(zhǔn)差
library(dplyr)
group_by(warpbreaks, wool, tension) %>% summarise(breaks.mean = mean(breaks)) # %>%重定向
group_by(warpbreaks, wool, tension) %>% summarise(breaks.sd = sd(breaks))

# 兩因素方差分析
result <- aov(breaks ~ wool * tension, data=warpbreaks)
summary(result)

從上面方差分析結(jié)果可知：羊毛類型（wool）的主效應(yīng)不顯著(p=0.058>0.05)，但張力（tension）大小的主效應(yīng)顯著(p=0.0006<0.05)，羊毛類型與張力大小之間（wool:tension）之間的交互作用顯著（p=0.021<0.05）。?