描述

給出一個向量組原始基，通過施密特正交化、單位化，構(gòu)造出標(biāo)準(zhǔn)正交基。

輸入

本題有多組測試數(shù)據(jù)。每組測試數(shù)據(jù)在第一行給出兩個正整數(shù)t，n，表示有t個n維向量。隨后t行每行給出n個實數(shù)表示一個向量。

輸出

每行輸出一個向量，用空格分隔每個分量。保留3位小數(shù)。

樣例輸入

3 3
0 1 1
1 1 0
1 0 1

樣例輸出

0.000 0.707 0.707
0.816 0.408 -0.408
0.577 -0.577 0.577

code

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>// 計算向量點積
double dotProduct(const double* v1, const double* v2, int n) {double result = 0.0;for (int i = 0; i < n; i++) {result += v1[i] * v2[i];}return result;
}// 計算向量長度
double vectorLength(const double* v, int n) {double result = 0.0;for (int i = 0; i < n; i++) {result += v[i] * v[i];}return sqrt(result);
}// 施密特正交化 該函數(shù)接收一個二維指針vectors，表示向量組，以及兩個整數(shù)t和n，
//分別表示向量組中向量的個數(shù)和每個向量的維度。該函數(shù)實現(xiàn)施密特正交化的算法
void gramSchmidt(double** vectors, int t, int n) {for (int i = 0; i < t; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {double projection = dotProduct(vectors[i], vectors[j], n) / dotProduct(vectors[j], vectors[j], n); //projection 就是向量 vectors[i] 在向量 vectors[j] 上的投影長度，//它除以向量 vectors[j] 的長度的平方，就是公式中的分式部分，用于計算投影向量的系數(shù)。for (int k = 0; k < n; k++) {vectors[i][k] -= projection * vectors[j][k];}}}
}// 單位化向量
void normalize(double* v, int n) {double length = vectorLength(v, n);for (int i = 0; i < n; i++) {v[i] /= length;}
}int main() {int t, n;while (scanf("%d%d", &t, &n) == 2) {// 讀入向量組double** vectors = (double**)malloc(t * sizeof(double*));for (int i = 0; i < t; i++) {vectors[i] = (double*)malloc(n * sizeof(double));for (int j = 0; j < n; j++) {scanf("%lf", &vectors[i][j]);}}// 施密特正交化gramSchmidt(vectors, t, n);// 單位化向量for (int i = 0; i < t; i++) {normalize(vectors[i], n);}// 輸出結(jié)果for (int i = 0; i < t; i++) {for (int j = 0; j < n-1; j++) {printf("%.3f ", vectors[i][j]);}printf("%.3f",vectors[i][n-1]); printf("\n");}// 釋放內(nèi)存for (int i = 0; i < t; i++) {free(vectors[i]);}free(vectors);}return 0;
}

對樣例解釋（理解的的人可跳過）

Eg.對于vectors=

{1,1,1,1

1，-1,0,4

3,5,1，-1}

1. i=0

j不存在

對于for（k=……）也不執(zhí)行

vectors不變 仍為vectors=

{1,1,1,1

1，-1,0,4

3,5,1，-1}

1. i=1

   ??Projection=4/4=1

   ??For(k=……）

   1. vectors[1][0]-=1*vectors[0][0](vectors[0][0]=1)

      1. vectors[1][0]變成0

   2. vectors[1][1]-=1*vectors[0][1](vectors[0][1]=1)

      1. vectors[1][1]變成-2

   3. vectors[1][2]-=1*vectors[0][2](vectors[0][2]=1)

      1. vectors[1][2]變成-1

   4. vectors[1][3]-=1*vectors[0][3](vectors[0][3]=1)

      1. vectors[1][3]變成3

   1. j=0

vectors=

{1,1,1,1

0，-2,-1,3

3,5,1，-1}

1. i=2

   ??Projection=(3*1+5*1+1-1)/4=8/4=2

   ??For(k=……）

   1. vectors[2][0]-=2*vectors[0][0](vectors[0][0]=1)

      1. vectors[2][0]變成1

   2. vectors[2][1]-=2*vectors[0][1](vectors[0][1]=1)

      1. vectors[2][1]變成3

   3. vectors[2][2]-=2*vectors[0][2](vectors[0][2]=1)

      1. vectors[2][2]變成-1

   4. vectors[2][3]-=2*vectors[0][3](vectors[0][3]=1)

      1. vectors[2][3]變成-3

   ??對于vectors=

   ??{1,1,1,1

   ??0,-2,-1,3

   ??1,3,-1,-3}

   ?attention：在解這題時vectors[2][ ]不改變（起始vectors[2][ ]為3,5,1,-1）

   ??3*0-2*5-1*1-1*3=-14=1*0-2*3+(-1)*(-1)-3*(3)（點乘不變）

   ??Projection=(0-6+1-9)/14=-14/14=-1

   ??For(k=……）

   1. vectors[3][0]-=(-1)*vectors[1][0](vectors[1][0]=0)

      1. vectors[3][0]變成1

   2. vectors[3][1]-=(-1)*vectors[1][1](vectors[1][1]=-2)

      1. vectors[3][1]變成1

   3. vectors[3][2]-=(-1)*vectors[1][2](vectors[1][2]=-1)

      1. vectors[3][2]變成-2

   4. vectors[3][3]-=(-1)*vectors[1][3](vectors[1][3]=3)

      1. vectors[3][3]變成0

   1. j=0

   2. j=1

對于vectors=

{1,1,1,1

0,-2,-1,3

1,1,-2,0}

接下來就是單位化