2010年國(guó)賽高教杯數(shù)學(xué)建模

C題 輸油管的布置

??某油田計(jì)劃在鐵路線(xiàn)一側(cè)建造兩家煉油廠(chǎng)，同時(shí)在鐵路線(xiàn)上增建一個(gè)車(chē)站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線(xiàn)建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。
??1. 針對(duì)兩煉油廠(chǎng)到鐵路線(xiàn)距離和兩煉油廠(chǎng)間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線(xiàn)，應(yīng)考慮共用管線(xiàn)費(fèi)用與非共用管線(xiàn)費(fèi)用相同或不同的情形。
??2. 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠(chǎng)的具體位置由附圖所示，其中A廠(chǎng)位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠(chǎng)位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線(xiàn)用圖中的虛線(xiàn)表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

??若所有管線(xiàn)的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線(xiàn)還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)三家工程咨詢(xún)公司（其中公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如下表所示：

??請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線(xiàn)布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。
??3. 在該實(shí)際問(wèn)題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠(chǎng)的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線(xiàn)鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠(chǎng)成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠(chǎng)成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線(xiàn)費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請(qǐng)給出管線(xiàn)最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。

整體求解過(guò)程概述(摘要)

??“輸油管的布置”數(shù)學(xué)建模的目的是設(shè)計(jì)最優(yōu)化的路線(xiàn)，建立一條費(fèi)用最省的輸油管線(xiàn)路，但是不同于普遍的最短路徑問(wèn)題，該題需要考慮多種情況，例如，城區(qū)和郊區(qū)費(fèi)用的不同，采用共用管線(xiàn)和非公用管線(xiàn)價(jià)格的不同等等。我們基于最短路徑模型，對(duì)于題目實(shí)際情況進(jìn)行研究和分析，對(duì)三個(gè)問(wèn)題都設(shè)計(jì)了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處理。
??問(wèn)題一：此問(wèn)只需考慮兩個(gè)加油站和鐵路之間位置的關(guān)系，根據(jù)位置的不同設(shè)計(jì)相應(yīng)的模型，我們基于光的傳播原理，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的最短路徑模型，在不考慮共用管線(xiàn)價(jià)格差異的情況下，只考慮如何設(shè)計(jì)最短的路線(xiàn)，因此只需一個(gè)未知變量便可以列出最短路徑函數(shù)；在考慮到共用管線(xiàn)價(jià)格差異的情況下，則需要建立2個(gè)未知變量，如果帶入已知常量，可以解出變量的值。
??問(wèn)題二：此問(wèn)給出了兩個(gè)加油站的具體位置，并且增加了城區(qū)和郊區(qū)的特殊情況，我們進(jìn)一步改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，將輸油管路線(xiàn)橫跨兩個(gè)不同的區(qū)域考慮為光在兩種不同介質(zhì)中傳播的情況，輸油管在城區(qū)和郊區(qū)的鋪設(shè)將不會(huì)是直線(xiàn)方式，我們將其考慮為光在不同介質(zhì)中傳播發(fā)生了折射。在郊區(qū)的路線(xiàn)依然可以采用問(wèn)題一的改進(jìn)最短路徑模型，基于該模型，我們只需設(shè)計(jì)2個(gè)變量就可以列出最低費(fèi)用函數(shù)，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我們經(jīng)過(guò)多次驗(yàn)證和求解，將路徑精度控制到米，費(fèi)用精度控制到元。
??問(wèn)題三：該問(wèn)的解答方法和問(wèn)題二類(lèi)似，但是由于A(yíng)管線(xiàn)、B管線(xiàn)、共用管線(xiàn)三者的價(jià)格均不一樣，我們利用問(wèn)題二中設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，以鐵路為橫坐標(biāo)，城郊交匯為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)軸，增加了一個(gè)變量，建立了最低費(fèi)用函數(shù)，并且利用VC++解出了最低費(fèi)用和路徑坐標(biāo)。

模型假設(shè)：

??1、管道均以直線(xiàn)段鋪設(shè)，不考慮地形影響。
??2、不考慮管道的接頭處費(fèi)用。
??3、不考慮施工之中的意外情況，所有工作均可順利進(jìn)行。
??4、共用管線(xiàn)的價(jià)格如果和非公用管線(xiàn)不一致，則共用管線(xiàn)價(jià)格大于任意一條非公用管線(xiàn)價(jià)格，小于兩條非公用管線(xiàn)價(jià)格之和。

問(wèn)題分析：

??問(wèn)題一：要考慮有和沒(méi)有共用管線(xiàn)，還要考慮共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)費(fèi)用相同和不同兩種情況。同時(shí)還要考慮兩個(gè)工廠(chǎng)是否在鐵路的同一側(cè)，如果兩個(gè)工廠(chǎng)在鐵路的同一側(cè)那么一定沒(méi)有共用管線(xiàn)。 不在鐵路的同一側(cè)那么就要考慮有和沒(méi)有共用管線(xiàn)這個(gè)問(wèn)題。計(jì)算共用管線(xiàn)的長(zhǎng)度時(shí)，用光學(xué)原理，把一個(gè)工廠(chǎng)當(dāng)作光源發(fā)射一束光經(jīng)過(guò)一個(gè)平面的反射通過(guò)另一個(gè)工廠(chǎng)，這樣能夠保證路線(xiàn)最短。這個(gè)平面與鐵路的距離即為共用管線(xiàn)的長(zhǎng)度。同時(shí)與這個(gè)平面的交點(diǎn)就是兩廠(chǎng)的管線(xiàn)的交點(diǎn)。當(dāng)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)費(fèi)用不相同時(shí)可以通過(guò)建立方程組來(lái)解答。
??當(dāng)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)費(fèi)用不相同時(shí)要建立方程組來(lái)計(jì)算其最小費(fèi)用從而來(lái)確定方案的可行性，共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)長(zhǎng)度作為變量來(lái)控制總費(fèi)用，那么我們就可以列出一個(gè)方程組，從而在變量的約束條件下可以確定最小費(fèi)用。
??問(wèn)題二：把這個(gè)問(wèn)題分兩部分來(lái)考慮，即市區(qū)和郊區(qū)分兩個(gè)部分，火車(chē)站建立在郊區(qū)費(fèi)用要小得多，郊區(qū)共用管線(xiàn)與非共用管線(xiàn)的費(fèi)用相同所以可以用最短路徑的方法來(lái)考慮，同時(shí)又要求費(fèi)用最小，可以解出最低費(fèi)用及對(duì)應(yīng)的鋪設(shè)線(xiàn)路。
??問(wèn)題三：通過(guò)建立坐標(biāo)系設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)也是表達(dá)管線(xiàn)的長(zhǎng)度，然后再與各自的費(fèi)用之積確定總的費(fèi)用，從而算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)值。即確定了管線(xiàn)的路線(xiàn)。

模型的建立與求解整體論文縮略圖

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部分程序代碼：

%解方程組
syms x y b l a m n 
[x,y]=solve('x/((x^2+(y-a)^2)^(1/2))+(x-l)/(((x-l)^2+(y-b)^2)^(1/2))=0','m*((y-a)/((x^2+(y-a)^2)^(1/2))+(y-b)/(((x-l)^2+(y-b)^2)^(1/2)))+n=0','x,y');
pretty(simple(x))
pretty(simple(y))
%鋪設(shè)管路長(zhǎng)度
syms m n a b l
x =-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))*l/(-1/2/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))+a-b)y =a-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))
d=(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+y
pretty(simple(d))
syms m n a b l 
x=-1/4/(n^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*n^2*a-2*n^2*b-2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))*l/(-1/2/(n^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*n^2*a-2*n^2*b-2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))+a-b)y=a-1/4/(n^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*n^2*a-2*n^2*b-2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))f=(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+ypretty(simple(f))
%鋪設(shè)管路所需費(fèi)用
syms m n a b l
x =-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))*l/(-1/2/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))+a-b)y =a-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))
e=m*(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+m*((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+n*y
pretty(simple(e))
syms m a b lx=-1/4/(m^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*m^2*a-2*m^2*b-2*(4*m^2*l^2*m^2-l^2*m^4)^(1/2))*l/(-1/2/(m^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*m^2*a-2*m^2*b-2*(4*m^2*l^2*m^2-l^2*m^4)^(1/2))+a-b)y=a-1/4/(m^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*m^2*a-2*m^2*b-2*(4*m^2*l^2*m^2-l^2*m^4)^(1/2))g=m*(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+m*((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+n*ypretty(simple(g))

!目標(biāo)函數(shù)Z最小;
min=7.2*(a+b+c+d)+21.424*d;
x1<15;
a^2=((x1)^2+(y1-5)^2);!a表示AP;
b^2=((x1-15)^2+(y1-y2)^2); !b表示PQ;
c=y1;   !c表示CP;
d^2=((15-20)^2+(y2-8)^2); !d表示QB;LINGO9.0運(yùn)行結(jié)果：
Local optimal solution found.Objective value:                              282.3143Total solver iterations:                            46Variable           Value        Reduced CostA        6.294130          -0.4507570E-08B        11.02638            0.000000C        1.852935            0.000000D        5.040020           0.2173971E-07X1        5.450877            0.000000Y1        1.852935           0.2237103E-07Y2        7.366124            0.000000Row    Slack or Surplus      Dual Price1        282.3143           -1.0000002        9.549123            0.0000003        0.000000          -0.57196154        0.000000          -0.32648985        0.000000           -7.2000006        0.000000           -2.839671

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